9愛媛大学 2011年 数学 第9問解答・解説

(1)　$$\begin{aligned}f(x+n\pi)&=\cos(x+n\pi)-(x+n\pi)\sin(x+n\pi)\\&=(-1)^n\{\cos x-(x+n\pi)\sin x\},\\(-1)^{n+1}f(x+n\pi)&=(x+n\pi)\sin x-\cos x=g_n(x).\end{aligned}$$よって示された。

(2)　 $g_n'(x)=2\sin x+(x+n\pi)\cos x$.　 $\displaystyle 0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$ では g_n'(x)>0 だから g_n は、xが大きくなると必ず大きくなる。また $\displaystyle g_n(0)=-1<0,\quad g_n(\frac{\pi}{2})=n\pi+\frac{\pi}{2}>0$.連続性と中間値の定理によりこの区間に解がただ1つある。一方、$\displaystyle \frac\pi2$$\le$ x$\le$$\pi$ では (x+n$\pi$)$\sin$ x$\ge$0, -$\cos$ x$\ge$0 で、両者が同時に0とはならないから g_n(x)>0.したがって $0\le x\le\pi$ の範囲の解はただ1つである。

(3)　(2)より 0<x_n<$\displaystyle \frac\pi2$.　 g_n(x_n)=0 より $\displaystyle \tan x_n=\frac{1}{x_n+n\pi}$.問題文で許された不等式 $\tan$ x_n>x_n を用いると　 $\displaystyle 0<x_n<\frac1{x_n+n\pi}<\frac1{n\pi}$.

(4)　(1)と(2)より、各 k$\ge$1 について $k\pi\le x\le(k+1)\pi$ の範囲内の f の零点は y_k=k$\pi$+x_k のただ1つである。よって $y_n<x<y_{n+1}$ の範囲に f の零点はない。さらに g_n'(x_n)=2$\sin$ x_n+(x_n+n$\pi$)$\cos$ x_n>0,　 g_n'(x_n)=(-1)^{n+1}f'(y_n), なので f は y_n の直後で (-1)^{n+1} と同じ符号をもつ。連続性と零点がないことから区間全体でその符号を保つ。したがって$$\displaystyle \begin{aligned}S_n&=(-1)^{n+1}\int_{y_n}^{y_{n+1}}f(x)\,dx\\&=(-1)^{n+1}\left[x\cos x\right]_{y_n}^{y_{n+1}}\\&=(n\pi+x_n)\cos x_n+((n+1)\pi+x_{n+1})\cos x_{n+1},\end{aligned}$$ここで (x$\cos$ x)'=$\cos$ x-x$\sin$ x=f(x) を用いた。

(5)　(3)より x_n$\to$0, x_{n+1}$\to$0 である。よって　$\displaystyle \frac{S_n}{n}$=$\displaystyle \left(\pi+\frac{x_n}{n}\right)$$\cos$ x_n+$\displaystyle \left(\pi+\frac\pi n+\frac{x_{n+1}}n\right)$$\cos$ x_{n+1}$\longrightarrow$$\pi$+$\pi$=2$\pi$.