7愛媛大学 2011年 数学 第7問解答・解説

・ $n=1$ では1回だけさいころを投げる。出た目が1,2,3,4,5なら同じ点数を得て，6なら7点を得るから，期待値は $$\displaystyle \frac{1+2+3+4+5+7}{6}=\frac{22}{6}=\boxed{\frac{11}{3}}.$$

・ 試行1で6が出た後，試行2であと $r$ 回まで投げられる状態の期待得点を $E_r$ とする。最後の1回まで6が続いたときは7点なので $$\displaystyle E_1=\frac{-1+7+7+7+13+7}{6}=\frac{40}{6}=\frac{20}{3}.$$ $r\ge2$ のとき，次の1回で1,2,3,4,5が出た場合の点数の合計は $$-1+7+7+7+13=33,$$ 6が出た場合は残り $r-1$ 回の状態となる。よって $$\displaystyle E_r=\frac{33+E_{r-1}}6.$$ この漸化式の定数値は $33/5$ であり，$E_r-33/5=(E_{r-1}-33/5)/6$ だから $$\displaystyle E_r=\frac{33}{5}+\left(E_1-\frac{33}{5}\right)6^{-(r-1)} =\frac{33}{5}+\frac{2}{5\cdot6^r}.$$ 最初の1投で1から5が出る点数の合計は15であり，6が出た後には $r=3$ 回まで投げられる。したがって求める期待値は $$\displaystyle \frac{15+E_3}{6} =\frac52+\frac16\left(\frac{33}{5}+\frac{2}{5\cdot6^3}\right) =\frac52+\frac{713}{648} =\boxed{\frac{2333}{648}}.$$

・ 最初の投げで6が出た後，続行した場合に試行2で投げられるのは最大29回なので，その期待得点は $$\displaystyle E_{29}=\frac{33}{5}+\frac{2}{5\cdot6^{29}}<\frac{33}{5}<7.$$ ただちに終了して7点を得る方が期待得点は大きい。よって $\boxed{\text{(a)}}$ を選ぶ。