12千葉大学 2011年 数学 第12問解答・解説

$p_n$ を、$n$ 回移動した後に $A_1$ にいる確率とする。現在 $A_1$ にいる場合は次の移動で $A_1$ には戻れず、現在 $A_1$ 以外の部屋にいる場合は、次の移動先が $A_1$ となる確率は $1/k$ である。したがって $$\displaystyle p_0=0,\qquad p_{n+1}=\frac{1-p_n}{k}.$$ この漸化式の定常値は $1/(k+1)$ であり、差をとると $$\displaystyle p_{n+1}-\frac1{k+1}=-\frac1k\left(p_n-\frac1{k+1}\right).$$ よって $$\displaystyle p_n-\frac1{k+1}=\left(-\frac1k\right)^n\left(p_0-\frac1{k+1}\right)=-\frac1{k+1}\left(-\frac1k\right)^n,$$ したがって $$\displaystyle \boxed{p_n=\frac{1-\left(-\frac1k\right)^n}{k+1}}.$$ この式は $k=1$ の場合も含み、偶数回後は$0$、奇数回後は$1$となる。