13千葉大学 2011年 数学 第13問解答・解説

(1) 実数根の二次因子は$x^2+(a+1)x+1/a$である。残りを実係数の$x^2+ux+v$とすると、三次係数0と定数項2より$u=-(a+1),v=2a$。従って $$\displaystyle f(x)=\left(x^2+(a+1)x+\frac1a\right)\left(x^2-(a+1)x+2a\right).$$ 係数比較より$b=1/a-a^2-1$、$c=(a+1)(2a-1/a)$。 (2) 二つの二次因子の判別式はそれぞれ正、負でなければならない。 $$(a+1)^2-4/a>0,\qquad(a+1)^2-8a<0.$$ 後者から$3-2\sqrt2<a<3+2\sqrt2$で特に$a>0$。前者に$a$を掛けると $$(a-1)(a^2+3a+4)>0.$$ 二次因子は$(a+3/2)^2+7/4>0$なので$a>1$。逆に両判別式の条件も成立するから、求める範囲は$1<a<3+2\sqrt2$。 (3) $b'(a)=-1/a^2-2a<0$なので、aが増えるとbは減少する。端値は$b(1)=-1$、$b(3+2\sqrt2)=-15-14\sqrt2$で、端点を含まない。従って $$-15-14\sqrt2<b<-1.$$