千葉大学 2011年数学第15問解答・解説

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1問題

千葉大学2011年度第15問

座標平面上の点 $(x, y)$ が

$\left\{ \begin{array}{l} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} - (3 x ^ {2} - y ^ {2}) y = 0 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array} \right.$

で定まる集合上を動くとき, $x^{2} + y^{2}$ の最大値, およびその最大値を与える x, y の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

最大値1。そのとき $\displaystyle \left(x,y\right)=\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right)$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2},\quad t=\frac{y}{r}$ と置く（原点は目的値0）。条件式より $r=3t-4t^3$ 。さらに $1-r=1-3t+4t^3=(2t-1)^2(t+1)\ge0$ なので $r^2\le1$ 。等号は $\displaystyle t=\frac12$ で成立し、 $r=1$ から $\displaystyle \left(x,y\right)=\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right)$ 。最大値1。

この問題で使う考え方

極座標的な変数置換
因数分解
不等式による最大値評価

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