14千葉大学 2011年 数学 第14問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} \text{(1)}\quad & s=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\ge2,\qquad \frac{\sqrt{x^2+y^2}-x-y}{\sqrt{xy}}=\sqrt{s^2-2}-s\\ &=-\frac{2}{s+\sqrt{s^2-2}}\ge -\frac{2}{2+\sqrt2}=\sqrt2-2.\\ &x=y\ \text{で等号。したがって最大の }a=\sqrt2-2.\\[2pt] \text{(2)}\quad &0\le u\le1,\quad r=u^2:\quad r+\frac{1-r}{2}+\frac{1-r}{2}=1,\\ &\frac{r(1-r)^2}{4}\le\left(\frac13\right)^3,\quad u(1-u^2)\le\frac{2}{3\sqrt3}.\\ &a(1-a^2)b(1-b^2)c(1-c^2)d(1-d^2) =abcd(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2)\\ &\le\left(\frac{2}{3\sqrt3}\right)^4=\left(\frac4{27}\right)^2.\\ &\text{よって二因子がともに }\frac4{27}\text{ より大きいことはできず、}\\ &abcd\le\frac4{27}\quad\text{または}\quad (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2)\le\frac4{27}. \end{aligned}$$

(1) $s=(x+y)/\sqrt{xy}\ge2$ とすると、差を $\sqrt{xy}$ で割った値は $\sqrt{s^2-2}-s=-2/(s+\sqrt{s^2-2})$。分母は $s\ge2$ で増えるので最小値は $s=2$、すなわち $x=y$ のときの $\sqrt2-2$。これは係数 $a$ の最大値でもある。(2) $0\le u\le1$ と $r=u^2$ に相加相乗平均を適用すると $u(1-u^2)\le2/(3\sqrt3)$。4変数分を掛ければ二因子の積は $(4/27)^2$ 以下。従って二因子がともに $4/27$ を超えることはなく、求める二つの不等式の少なくとも一方が成り立つ。