1東京医科歯科大学 2010年 数学 第1問解答・解説

(1) $$a^3+b^3-a^2b-b^2a=(a+b)(a-b)^2>0$$ である。ここで $a+b>0$ かつ $a\ne b$ だから、$a^3+b^3>a^2b+b^2a$。

(2) 次のようにおく。 $$X=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2),\quad Y=(a+b+c)(ab+bc+ca),\quad Z=3(a^3+b^3+c^3),\quad W=9abc.$$ まず $$\displaystyle X-Y=\frac{a+b+c}{2}\bigl((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\bigr)>0.$$ また、(1)の恒等式を $(a,b),(b,c),(c,a)$ に適用すると $$\displaystyle Z-X=\bigl(a^3+b^3-a^2b-b^2a\bigr)+\bigl(b^3+c^3-b^2c-c^2b\bigr)+\bigl(c^3+a^3-c^2a-a^2c\bigr) =\sum\limits _{\rm cyc}(a+b)(a-b)^2>0.$$ 最後に、相加相乗平均より $$a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc},\qquad ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{(ab)(bc)(ca)}=3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.$$ したがって $Y\ge9abc=W$ である。少なくとも第1の不等式は $a,b,c$ が相異なるため狭義であり、$Y>W$。よって小さい順に $$W<Y<X<Z,$$ すなわち $$9abc<(a+b+c)(ab+bc+ca)<(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)<3(a^3+b^3+c^3)$$ となる。

(3) 与式を相反する項どうしでまとめると $$\displaystyle \left(\frac yx+\frac xy\right)+\left(\frac zy+\frac yz\right)+\left(\frac xz+\frac zx\right)\ge2+2+2=6,$$ ただし $u+u^{-1}-2=(u-1)^2/u\ge0$ を用いた。等号は $x=y=z$ のときに成り立つ。 さらに、任意の $R\ge6$ に対し $q=R/2-1\ge2$ とおき $$\displaystyle t=\frac{q+\sqrt{q^2-4}}{2}\ge1$$ とする。このとき $t+t^{-1}=q$ である。$x=z=1,y=t$ とすれば、与式は $$\displaystyle (t+1)+\frac2t+(t+1)=2\left(t+1+\frac1t\right)=2(q+1)=R.$$ よって与式は $6$ 以上のすべての実数値をとる。