2東京医科歯科大学 2010年 数学 第2問解答・解説

立方体の頂点 $V=(v_1,v_2,v_3)$ を中心とする正八面体は、$$|x-v_1|+|y-v_2|+|z-v_3|\le t$$ で表される。境界の体積は0なので、外部との境界を含めるかどうかは体積に影響しない。

(1) $Q$ 内で頂点を中心とする八面体が切り取る部分は、各軸に沿う3辺が長さ $t$ の四面体であり、体積は $t^3/6$。頂点 $O,D,E,F$ のどの2点間も座標差の絶対値和は2である。半径 $t<1$ の部分は交わらず、$t=1$ でも交わりは面積をもつ集合までで体積0（三角不等式の等号の場合）である。したがって $$\displaystyle \operatorname{Vol}\left(Q\cap\beta_t(O)\cap\beta_t(D)\cap\beta_t(E)\cap\beta_t(F)\right) =1-4\cdot\frac{t^3}{6}=1-\frac{2t^3}{3}.$$

(2) $Q\cap\alpha_1(O)$ は四面体 $$\displaystyle T=\{(x,y,z):x,y,z\ge0,\ x+y+z\le1\},\qquad \operatorname{Vol}(T)=\frac16.$$ この中で $\beta_1(A)$ の条件は $(1-x)+y+z\ge1$、すなわち $y+z\ge x$。同様に $\beta_1(B),\beta_1(C)$ は $x+z\ge y,\ x+y\ge z$ である。境界平面 $x+y+z=1$ では、3条件は $x,y,z\le1/2$ となり、三角形ABCの各辺の中点を頂点とする中央の三角形を切り出す。この中央三角形の辺は元の三角形の半分なので面積比は $1/4$。3条件は原点Oからの相似な断面を作るため、共通領域はOを頂点とする四角錐で、高さがTと同じである。したがって体積比も $1/4$ であり、求める体積は $$\displaystyle \frac16\cdot\frac14=\frac1{24}.$$

(3) $\displaystyle r(x)=\min(x,1-x)$ とする。点 $(x,y,z)\in Q$ から8頂点のうち最も近いものまでの座標差の絶対値和は $r(x)+r(y)+r(z)$。よって全ての $\beta_t(V)$ の外部にある条件は $$r(x)+r(y)+r(z)>t.$$ 各座標の中点で立方体を8個の小立方体に分け、$u=2r(x),\ v=2r(y),\ w=2r(z)$ とおく。各小立方体はこの変換で単位立方体へ写り、体積倍率は8。8個の小立方体の体積はそれぞれ元の $1/8$ なので、全体の体積は単位立方体内の $u+v+w>2t$ の体積に等しい。$s=2t$ とする。

$0<s\le1$ では、単位立方体の外に出ない四面体 $u+v+w\le s$ の体積は $s^3/6$。したがって求める体積は $1-s^3/6=1-4t^3/3$。

$1\le s\le2$ では、第一象限の四面体 $u+v+w\le s$ から、一つの座標が1を超える部分を引く。各部分は辺長 $s-1$ の四面体で体積 $(s-1)^3/6$。二つの座標が同時に1を超える部分は $s\le2$ では体積0である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Vol}\{(u,v,w):0\le u\le1,\ 0\le v\le1,\ 0\le w\le1,\ u+v+w>s\} &=1-\frac{s^3-3(s-1)^3}{6}\\ &=1-\frac{4t^3}{3}+4\left(t-\frac12\right)^3. \end{aligned}$$ まとめると $$\displaystyle \operatorname{Vol}=\begin{cases} 1-\dfrac{4t^3}{3},&0<t\le\dfrac12,\\[2pt] 1-\dfrac{4t^3}{3}+4\left(t-\dfrac12\right)^3,&\dfrac12\le t\le1. \end{cases}$$