3東京医科歯科大学 2010年 数学 第3問解答・解説

C上の点P(s,t)ではs^2+t^2=1である。半径OPは接線lに垂直なので、l上の点(x,y)について$(s,t)\cdot(x-s,y-t)=0$。よって $$\text{(1)}\quad sx+ty=1.$$ 以下t>0とする。lの方向ベクトルとして$\boldsymbol v$=(-t,s)をとると、|$\boldsymbol v$|=1であり、l上の点は(x,y)=(s-tu,t+su)と表せる。これをEの方程式に代入すると、 $$\displaystyle (s-tu)^2+\frac{(t+su)^2}{2}=1 \quad\text{すなわち}\quad \frac{1+t^2}{2}u^2-stu-\frac{t^2}{2}=0.$$ この二次方程式の判別式は、s^2+t^2=1より $$D=s^2t^2+(1+t^2)t^2=2t^2.$$ したがって2根の差は $$\displaystyle u_+-u_- =\frac{\sqrt D}{(1+t^2)/2}=\frac{2\sqrt{2}t}{1+t^2}.$$ 方向ベクトル$\boldsymbol v$は単位ベクトルなので、これが弦の長さである。したがって $$\displaystyle \text{(2)}\quad L=\frac{2\sqrt{2}t}{1+t^2}.$$ $0<t\le1$だから、(1-t)^2$\geq$0より2t$\leq$1+t^2。よって$L\le\sqrt2$であり、等号はt=1のときに成り立つ。このときs^2=1-t^2=0、したがってP=(0,1)、lはy=1である。ゆえに $$\displaystyle \text{(3)}\quad \max L=\sqrt{2}.$$ この直線と楕円で囲まれ、原点を含まない部分は上側の弓形である。高さyでの横幅は2$\sqrt{1-y^2/2}$なので、 $$\displaystyle \begin{aligned} A&=2\int_1^{\sqrt{2}}\sqrt{1-\frac{y^2}{2}}\,dy\\ &=2\sqrt{2}\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta\quad(y=\sqrt{2}\sin\theta)\\ &=2\sqrt{2}\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin2\theta}{4}\right]_{\pi/4}^{\pi/2} =\frac{\sqrt{2}(\pi-2)}{4}. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle \text{(4)}\quad A=\frac{\sqrt{2}(\pi-2)}{4}.$$