1広島大学 2015年 数学 第1問解答・解説

円$C_1$の中心は$P(1,1)$で、原点$O$を通るから半径の$2$乗は$2$である。したがって$C_1$の方程式は$$(x-1)^2+(y-1)^2=2$$である。

(1) PQはx軸に平行なのでQのy座標は1である。よって$(q-1)^2=2$であり、$q>0$より$q=1+\sqrt2$となる。$Q$は$C_2$上にもあるので$\displaystyle \frac{k}{q}=1$、したがって$k=q=1+\sqrt2$である。また点$(1,k)$は$C_2$上にあり、$(1-1)^2+(k-1)^2=2$を満たすので$C_1$上にもある。これは$Q$と異なる交点だから$R=(1,k),\quad r=1$である。

(2) 線分$\mathrm{OQ}$、$\mathrm{OR}$の方程式はそれぞれ$\displaystyle y=\frac{x}{q},\quad y=qx$である。$0\le x\le1$ではORが上側、OQが下側であり、$1\le x\le q$では$C_2$が上側、OQが下側である。したがって$$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_0^1\left(qx-\frac{x}{q}\right)dx+\int_1^q\left(\frac{q}{x}-\frac{x}{q}\right)dx\\&=\frac12\left(q-\frac1q\right)+q\log q-\frac{q^2-1}{2q}=q\log q\\&=(1+\sqrt{2})\log(1+\sqrt{2}).\end{aligned}$$

(3) $x=1+\sqrt2\sin\theta$とおくと、$x=1$で$\theta=0$、$x=1+\sqrt2$で$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$である。この範囲では$\cos$$\theta$$\ge$0なので$\sqrt{2-(x-1)^2}$=$\sqrt{2}$$\cos$$\theta$、dx=$\sqrt{2}$$\cos$$\theta$ d$\theta$となる。ゆえに$$\displaystyle \int_1^{1+\sqrt{2}}\sqrt{2-(x-1)^2}\,dx=2\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta=\frac{\pi}{2}.$$

(4) Oを含まない弧QRは、1$\le$ x$\le$ qにおいて円の上側の枝$y=1+\sqrt{2-(x-1)^2}$である。両端以外で$C_1$と$C_2$は交わらず、例えば$x=2$では円弧の高さ$2$が$C_2$の高さ$\displaystyle \frac q2$より大きいので、この円弧が上側、$C_2$が下側である。両高さは正だから、回転体の断面は外半径$1+\sqrt{2-(x-1)^2}$、内半径$\displaystyle \frac qx$の円環となる。したがって$$\displaystyle \begin{aligned}V&=\pi\int_1^q\left\{\left(1+\sqrt{2-(x-1)^2}\right)^2-\frac{q^2}{x^2}\right\}dx\\&=\pi\left\{\int_1^q\left(3-(x-1)^2\right)dx+2\int_1^q\sqrt{2-(x-1)^2}\,dx-q^2\int_1^q\frac{dx}{x^2}\right\}\\&=\pi\left\{\frac{7\sqrt{2}}{3}+\pi-(q^2-q)\right\}=\pi\left(\pi+\frac{4\sqrt{2}}{3}-2\right).\end{aligned}$$