4弘前大学 2014年 数学 第4問解答・解説

(1) 不等式を平方完成すると $$x^2+y^2\le 3,\qquad x^2+(y+3)^2\ge 12$$ となる。$s=x^2+y^2$ とおくと $s\le3$ かつ $s+6y\ge3$ なので、$6y\ge3-s\ge0$、従って $y\ge0$ である。二つの円の交点は $y=0,\ x=\pm\sqrt3$、すなわち $(\pm\sqrt3,0)$。従って D は第1の円板内かつ第2の円板外にある部分（境界を含む）で、上下の境界は $$y=\sqrt{3-x^2},\qquad y=-3+\sqrt{12-x^2}\quad(-\sqrt3\le x\le\sqrt3)$$ である。着色部が D を表す。

(2) 固定した $x$ で D を x 軸のまわりに回転すると、外半径が $\sqrt{3-x^2}$、内半径が $-3+\sqrt{12-x^2}$ の円環になる。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}\left[(3-x^2)-\left(-3+\sqrt{12-x^2}\right)^2\right]dx\\ &=2\pi\int_0^{\sqrt3}\left(6\sqrt{12-x^2}-18\right)dx. \end{aligned}$$ ここで $x=2\sqrt3\sin\theta$ ($0\le\theta\le\pi/6$) と置換すると $$\displaystyle \int_0^{\sqrt3}\sqrt{12-x^2}\,dx =12\int_0^{\pi/6}\cos^2\theta\,d\theta =12\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin2\theta}{4}\right]_0^{\pi/6} =\pi+\frac{3\sqrt3}{2}.$$ ゆえに $$\displaystyle V=2\pi\left(6\left(\pi+\frac{3\sqrt3}{2}\right)-18\sqrt3\right) =\boxed{12\pi^2-18\sqrt3\pi}.$$