6弘前大学 2014年 数学 第6問解答・解説

・ 2つの等式を引くと$3P=A-E$であるから、 $$\displaystyle P=\frac{A-E}{3}=\frac13\begin{pmatrix}1&-2\\-1&2\end{pmatrix}.$$ また$P+Q=E$より、 $$\displaystyle Q=E-P=\frac13\begin{pmatrix}2&2\\1&1\end{pmatrix}.$$

・ 成分を計算すると、 $$\displaystyle PQ=\frac19\begin{pmatrix}1&-2\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&2\\1&1\end{pmatrix}=O,\qquad QP=\frac19\begin{pmatrix}2&2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2\\-1&2\end{pmatrix}=O.$$ さらに、 $$\displaystyle P^2=\frac19\begin{pmatrix}3&-6\\-3&6\end{pmatrix}=P,\qquad Q^2=\frac19\begin{pmatrix}6&6\\3&3\end{pmatrix}=Q.$$

・ (1)から$A=4P+Q$である。$n=1$では$A^n=4^nP+Q$が成り立つ。これが$n$で成り立つとすると、 $$A^{n+1}=(4^nP+Q)(4P+Q)=4^{n+1}P^2+4^nPQ+4QP+Q^2=4^{n+1}P+Q.$$ よって数学的帰納法により$A^n=4^nP+Q$。したがって、 $$\displaystyle A^n=\frac13\begin{pmatrix}4^n+2&2-2\cdot4^n\\1-4^n&2\cdot4^n+1\end{pmatrix}.$$

・ (3)の式から、 $$\displaystyle B_n=4^{-n}P+Q=\frac13\begin{pmatrix}4^{-n}+2&2-2\cdot4^{-n}\\1-4^{-n}&2\cdot4^{-n}+1\end{pmatrix}.$$ 実際、$P^2=P,\ Q^2=Q,\ PQ=QP=O$より$A^nB_n=B_nA^n=P+Q=E$だから、これは$A^n$の逆行列である。$(1/4)^n\to0$より、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=\frac23,\quad \lim\limits _{n\to\infty}b_n=\frac23,\quad \lim\limits _{n\to\infty}c_n=\frac13,\quad \lim\limits _{n\to\infty}d_n=\frac13.$$