2金沢大学 2011年 数学 第2問解答・解説

(1)

$s=\sqrt3$ とし、逆行列の候補を $$C=\begin{pmatrix}u&v\\w&z\end{pmatrix}$$ とおく。$CP=I$ の成分を比較すると $$us+v=1,\quad -us+v=0,\quad ws+z=0,\quad -ws+z=1$$ である。前の2式の和と差から $\displaystyle v=\frac12,\ u=\frac1{2s}$、後の2式の和と差から $\displaystyle z=\frac12,\ w=-\frac1{2s}$ を得る。したがって $$\displaystyle u=\frac1{2s},\quad v=\frac12,\quad w=-\frac1{2s},\quad z=\frac12, \qquad C=\begin{pmatrix}\frac1{2s}&\frac12\\-\frac1{2s}&\frac12\end{pmatrix}.$$ 実際、 $$\displaystyle CP= \begin{pmatrix} \frac12+\frac12&-\frac12+\frac12\\ -\frac12+\frac12&\frac12+\frac12 \end{pmatrix}=I,\qquad PC= \begin{pmatrix} \frac12+\frac12&\frac{s}{2}-\frac{s}{2}\\ \frac1{2s}-\frac1{2s}&\frac12+\frac12 \end{pmatrix}=I.$$ よって $C=P^{-1}$ である。

次に、成分を掛けると $$AP= \begin{pmatrix} 2s+3&3-2s\\ s+2&2-s \end{pmatrix}.$$ $s^2=3$、したがって $3/s=s$ を用いて左から $C$ を掛けると $$\displaystyle P^{-1}AP=C(AP) =\begin{pmatrix} 2+\frac{3}{2s}+\frac{s}{2}&\frac{3}{2s}-\frac{s}{2}\\ -\frac{3}{2s}+\frac{s}{2}&2-\frac{3}{2s}-\frac{s}{2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2+s&0\\0&2-s\end{pmatrix}.$$ したがって $$\displaystyle P^{-1}=\begin{pmatrix}\frac1{2\sqrt3}&\frac12\\-\frac1{2\sqrt3}&\frac12\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}2+\sqrt3&0\\0&2-\sqrt3\end{pmatrix}.$$ $$PB= \begin{pmatrix}s&-s\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2+s&0\\0&2-s\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2s+3&3-2s\\s+2&2-s\end{pmatrix} =AP.$$ 右から $P^{-1}$ を掛け、$PP^{-1}=I$ を用いると $A=PBP^{-1}$ である。

(2)

$\alpha=2+\sqrt3,\ \beta=2-\sqrt3$ とおく。まず $n=1$ では $A^1=P B^1 P^{-1}$ である。ある $n\ge1$ で $A^n=PB^nP^{-1}$ とすると、 $$A^{n+1}=A^nA =PB^nP^{-1}PB P^{-1} =PB^nB P^{-1} =PB^{n+1}P^{-1}.$$ ここで $P^{-1}P=I$ を用いた。よって帰納法により $$A^n=PB^nP^{-1}\qquad(n\ge1).$$ $B^1=\begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\beta\end{pmatrix}$ である。$B^n=\begin{pmatrix}\alpha^n&0\\0&\beta^n\end{pmatrix}$ と仮定すると、成分を掛けて $$B^{n+1}=B^nB =\begin{pmatrix}\alpha^{n+1}&0\\0&\beta^{n+1}\end{pmatrix}.$$ したがって帰納法により $B^n=\begin{pmatrix}\alpha^n&0\\0&\beta^n\end{pmatrix}$ である。 さらに $$P^{-1}\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/\sqrt3\\-1/\sqrt3\end{pmatrix}$$ であるから $$\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix} =PB^nP^{-1}\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\alpha^n+\beta^n\\(\alpha^n-\beta^n)/\sqrt3\end{pmatrix}.$$ したがって $$\displaystyle a_n=(2+\sqrt3)^n+(2-\sqrt3)^n,\qquad b_n=\frac{(2+\sqrt3)^n-(2-\sqrt3)^n}{\sqrt3}.$$

(3)

$A$ は整数成分で、初期ベクトル $(2,0)^T$ も整数成分である。よって $(a_n,b_n)^T$ は $n$ ごとに整数成分をもち、特に $a_n$ は整数である。 また $1<\sqrt3<2$ より $0<\beta=2-\sqrt3<1$ なので $0<\beta^n<1$。 $$\alpha\beta=(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1.$$ 上の式から $$a_n-1<a_n-\beta^n=\alpha^n<a_n,$$ したがって $$\left\lfloor(2+\sqrt3)^n\right\rfloor=a_n-1.$$ さらに $\alpha=1+t$ とおくと $t=1+\sqrt3>0$ であり、二項定理から $$\alpha^n=(1+t)^n\ge1+nt\longrightarrow\infty.$$ $\alpha\beta=1$ より $\beta^n=1/\alpha^n\longrightarrow0$。したがって $$c_n=\alpha^n-\lfloor\alpha^n\rfloor =1-\beta^n\longrightarrow1.$$ 求める極限は $1$ である。