4山形大学 2013年 数学 第4問解答・解説

列ベクトルを用いて各一次変換を表す。

(1) $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ とおくと、すべての自然数 $n$ について $$A\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+1\\1\end{pmatrix}$$ だから、$an+b=n+1$ および $cn+d=1$ がすべての $n$ で成り立つ。よって $a=b=d=1,c=0$ であり、 $$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}.$$

(2) $B=\begin{pmatrix}p&q\\s&u\end{pmatrix}$ とおく。条件より $$p+q=-2r,\quad -2rp+q=2r^2-r,\quad s+u=1,\quad -2rs+u=1.$$ 最初の二式の差から $-(2r+1)p=r(2r+1)$、したがって $p=-r,q=-r$ を得る。後二式の差から $-(2r+1)s=0$ であり、$r>0$ より $s=0,u=1$ である。ゆえに $$B=\begin{pmatrix}-r&-r\\0&1\end{pmatrix}.$$

(3) $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$ なので、 $$C=ABA^{-1}=\begin{pmatrix}-r&1-r\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-r&1\\0&1\end{pmatrix}.$$ ここで $q=-r$ とおくと $C=\begin{pmatrix}q&1\\0&1\end{pmatrix}$ である。次の式を予想する。 $$\displaystyle C^n=\begin{pmatrix}q^n&\dfrac{1-q^n}{1-q}\\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}(-r)^n&\dfrac{1-(-r)^n}{1+r}\\0&1\end{pmatrix}.$$ $n=1$ のとき右辺は $C$ に一致する。$n$ で成り立つと仮定すると、 $$\displaystyle C^{n+1}=C^nC =\begin{pmatrix}q^{n+1}&q^n+\dfrac{1-q^n}{1-q}\\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}q^{n+1}&\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\\0&1\end{pmatrix}.$$ 最後の等号は $q^n+(1-q^n)/(1-q)=(1-q^{n+1})/(1-q)$ による。したがって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ で予想式が成り立つ。

(4) この行列を $(1,r)^T$ に作用させると、像の $x$ 座標は $$\displaystyle x_n=(-r)^n+\frac{r\{1-(-r)^n\}}{1+r}=\frac{(-r)^n+r}{1+r}.$$ $0<r<1$ だから $(-r)^n\to0$ であり、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}x_n=\frac{r}{1+r}.$$