2山形大学 2013年 数学 第2問解答・解説

公差を $d\ne0$、初項を $a_1$ とおく。

(1) 等差数列の一般項は $a_n=a_1+(n-1)d$ だから $$\begin{aligned} a_5+a_8&=(a_1+4d)+(a_1+7d)=2a_1+11d,\\ a_6+a_7&=(a_1+5d)+(a_1+6d)=2a_1+11d. \end{aligned}$$ よって $a_5+a_8=a_6+a_7$。

(2) (1) の共通値を $T$ とする。与えられた平方和の等式から $$\begin{aligned} a_5^2-a_8^2&=a_7^2-a_6^2,\\ (a_5-a_8)(a_5+a_8)&=(a_7-a_6)(a_7+a_6). \end{aligned}$$ ここで $a_5-a_8=-3d$、$a_7-a_6=d$ なので $-3dT=dT$。$d\ne0$ より $T=0$、したがって $$2a_1+11d=0.$$ また $$\displaystyle 13=S_{13}=\frac{13}{2}(2a_1+12d)$$ より $a_1+6d=1$。これらを連立して $d=2,\ a_1=-11$ を得る。ゆえに $$\boxed{a_n=-11+2(n-1)=2n-13}.$$

(3) 等差数列の和の公式から $$\displaystyle S_n=\frac n2\{2(-11)+(n-1)2\}=\boxed{n(n-12)}.$$

(4) $q=2m-11$ とおくと $$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}=\frac{(q-2)q}{q+2}=q-4+\frac{8}{q+2}.$$ 数列の項は整数なので、この値が項となるには $8/(q+2)$ が整数でなければならない。$q+2=2m-9$ は0でない奇数であり、8の奇数約数は $\pm1$ だけだから、$2m-9=\pm1$、すなわち $m=4$ または $m=5$。$m=4$ のとき値は $-15$ で、数列の最小項 $a_1=-11$ より小さく項ではない。一方、$m=5$ のとき値は $3=a_8$。したがって $$\boxed{m=5}.$$