2北里大学 2014年 数学 第2問解答・解説

(1)　 $A^{n+1}=A^nA=AA^n$ である。積の右上成分をそれぞれ計算すると $$A^nA=\begin{pmatrix} a_na_1+b_nc_1 & a_nb_1+b_nd_1\\ c_na_1+d_nc_1 & c_nb_1+d_nd_1 \end{pmatrix},\qquad AA^n=\begin{pmatrix} a_1a_n+b_1c_n & a_1b_n+b_1d_n\\ c_1a_n+d_1c_n & c_1b_n+d_1d_n \end{pmatrix}.$$ いずれも左辺は $A^{n+1}$ なので、その右上成分は $b_{n+1}$ である。したがって $$b_{n+1}=a_nb_1+b_nd_1=b_1a_n+d_1b_n, \qquad b_{n+1}=a_1b_n+b_1d_n$$ が成り立つ。

(2)　 すべての自然数 $n$ について $$\displaystyle A^n=\begin{pmatrix} 3^{-n} & \dfrac{21}{8}\left(3^n-3^{-n}\right)\\ 0 & 3^n \end{pmatrix}$$ となることを数学的帰納法で示す。$n=1$ のとき、右上成分は $\displaystyle \dfrac{21}{8}(3-\dfrac13)=7$ であり、右辺は確かに $A$ に等しい。

$n$ で成り立つと仮定すると、行列の積を成分ごとに計算して $$\displaystyle \begin{aligned} A^{n+1}=A^nA &=\begin{pmatrix} 3^{-n} & \dfrac{21}{8}(3^n-3^{-n})\\ 0 & 3^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\dfrac13&7\\0&3\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 3^{-(n+1)} & 7\cdot3^{-n}+\dfrac{63}{8}(3^n-3^{-n})\\ 0 & 3^{n+1} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 3^{-(n+1)} & \dfrac{63}{8}3^n-\dfrac78 3^{-n}\\ 0 & 3^{n+1} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3^{-(n+1)} & \dfrac{21}{8}\left(3^{n+1}-3^{-(n+1)}\right)\\ 0 & 3^{n+1} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$ よって帰納法により、求める式がすべての $n=1,2,3,\ldots$ で成り立つ。

(3)　 (2)の行列をベクトルに掛けると $$\displaystyle p_n=2\cdot3^{-n}+\frac{105}{8}(3^n-3^{-n})=\frac{105}{8}3^n-\frac{89}{8}3^{-n}, \qquad q_n=5\cdot3^n.$$ $3^n>0$ であるから分子・分母を $3^n$ で割って $$\displaystyle \frac{p_n}{\sqrt{p_n^2+q_n^2}} =\frac{\dfrac{105}{8}-\dfrac{89}{8}3^{-2n}} {\sqrt{\left(\dfrac{105}{8}-\dfrac{89}{8}3^{-2n}\right)^2+25}}.$$ $3^{-2n}\to0$ であり、分母の極限は正なので、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{p_n}{\sqrt{p_n^2+q_n^2}} =\frac{\dfrac{105}{8}}{\sqrt{\left(\dfrac{105}{8}\right)^2+25}} =\frac{105}{\sqrt{12625}}=\boxed{\frac{21}{\sqrt{505}}}.$$