2九州大学 2007年 数学 第2問解答・解説

{}【(1)】　 {}まず $AB$ と $BA$ を計算する。 $$AB=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1+p\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2+p\\-1&-2-p\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}1&1\\0&1+p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\-(1+p)&-(1+p)\end{pmatrix}.$$ よって $$A_{2}=AB-BA+C=\begin{pmatrix}1&2+p\\-1&-2-p\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&0\\-(1+p)&-(1+p)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-1\\-1-p&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1+p\\-1&-1\end{pmatrix}.$$ 続いて同様に $A_{2}B,\ BA_{2}$ を計算する。 $$A_{2}B=\begin{pmatrix}1&1+p\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1+p\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1+(1+p)^{2}\\-1&-2-p\end{pmatrix},\qquad BA_{2}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1+p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1+p\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&p\\-(1+p)&-(1+p)\end{pmatrix}$$ （$(1,2)$成分は $1+(1+p)^{2}-p=2+p+p^{2}$，$(2,1)$成分は $1-(1+p)=p$ となることに注意）。したがって $$A_{3}=A_{2}B-BA_{2}+C=\begin{pmatrix}1&2+p+p^{2}\\p&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-1\\-1-p&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1+p+p^{2}\\-1&-1\end{pmatrix}.$$ 以上より $$A_{2}=\begin{pmatrix}1&1+p\\-1&-1\end{pmatrix},\qquad A_{3}=\begin{pmatrix}1&1+p+p^{2}\\-1&-1\end{pmatrix}.$$ 　 {}【(2)】　 {}(1)の結果から，$A_{n}$ は常に $$A_{n}=\begin{pmatrix}1&b_{n}\\-1&-1\end{pmatrix}\qquad(a_{n}=1,\ c_{n}=-1,\ d_{n}=-1\ \text{は}n\text{によらず一定})$$ の形になっていると予想できる（$b_{1}=1,\ b_{2}=1+p,\ b_{3}=1+p+p^{2}$）。これを数学的帰納法で示す。　 {}$n=1$ のとき $A_{1}=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}$ より成り立つ（$b_{1}=1$）。　 {}$n=k$ で $A_{k}=\begin{pmatrix}1&b_{k}\\-1&-1\end{pmatrix}$ が成り立つと仮定すると， $$A_{k}B=\begin{pmatrix}1&b_{k}\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1+p\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1+b_{k}(1+p)\\-1&-2-p\end{pmatrix},\qquad BA_{k}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1+p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&b_{k}\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&b_{k}-1\\-(1+p)&-(1+p)\end{pmatrix}$$ であるから $$A_{k+1}=A_{k}B-BA_{k}+C=\begin{pmatrix}1&1+b_{k}(1+p)-(b_{k}-1)\\p&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-1\\-1-p&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1+b_{k}p\\-1&-1\end{pmatrix}$$ （$1+b_{k}(1+p)-(b_{k}-1)-1=1+b_{k}p$ である）。これは $n=k+1$ でも同じ形であり，かつ $b_{k+1}=1+pb_{k}$ を得る。ゆえにすべての自然数 $n$ で $A_{n}=\begin{pmatrix}1&b_{n}\\-1&-1\end{pmatrix}$ が成り立ち，$b_{n}$ は $$b_{1}=1,\qquad b_{n+1}=pb_{n}+1\quad(n=1,2,3,\ldots)$$ を満たす。　 {}この漸化式を解く。$0<p<1$ より $p\neq1$ なので，不動点 $\alpha=p\alpha+1$ すなわち $\displaystyle \alpha=\dfrac{1}{1-p}$ を用いると $$b_{n+1}-\alpha=p(b_{n}-\alpha)$$ と変形でき，数列 $\{b_{n}-\alpha\}$ は公比 $p$ の等比数列である。よって $$\displaystyle b_{n}-\alpha=p^{\,n-1}(b_{1}-\alpha)=p^{\,n-1}\left(1-\frac{1}{1-p}\right)=-\frac{p^{\,n}}{1-p},\qquad b_{n}=\frac{1-p^{\,n}}{1-p}.$$ （検算：$n=1$ で $\displaystyle b_{1}=\dfrac{1-p}{1-p}=1$，$n=2$ で $\displaystyle b_{2}=\dfrac{1-p^{2}}{1-p}=1+p$，$n=3$ で $\displaystyle b_{3}=\dfrac{1-p^{3}}{1-p}=1+p+p^{2}$ となり，(1)の結果と一致する。）　 {}$a_{n}=1,\ c_{n}=-1,\ d_{n}=-1$ は $n$ によらず一定なので $$\displaystyle \Delta_{n}=a_{n}d_{n}-b_{n}c_{n}=1\cdot(-1)-b_{n}\cdot(-1)=b_{n}-1=\frac{1-p^{\,n}}{1-p}-1=\frac{p-p^{\,n}}{1-p}.$$ （検算：$n=2$ で $\Delta_{2}=b_{2}-1=p$，$n=3$ で $\Delta_{3}=b_{3}-1=p+p^{2}$ となり，(1)で求めた $A_{2},A_{3}$ から直接 $a_{n}d_{n}-b_{n}c_{n}$ を計算した値と一致する。）　 {}$0<p<1$ より $|p|<1$ であるから，数列の極限として $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}p^{\,n}=0$ である。したがって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\Delta_{n}=\lim\limits _{n\to\infty}\frac{p-p^{\,n}}{1-p}=\frac{p-0}{1-p}=\frac{p}{1-p}.$$ 　 {}以上より，答えは $$\displaystyle A_{2}=\begin{pmatrix}1&1+p\\-1&-1\end{pmatrix},\quad A_{3}=\begin{pmatrix}1&1+p+p^{2}\\-1&-1\end{pmatrix},\quad \lim\limits _{n\to\infty}\Delta_{n}=\frac{p}{1-p}.$$