2北里大学 2010年 数学 第2問解答・解説

$(1)\ e_1=(2,1)$は直線$2y=x$上にあり、$e_2=(-1,1)$は直線$y=-x$上にある。よって $$A\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix},\qquad A\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}.$$$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$とおくと $$2a+b=10,\quad -a+b=-2,\qquad 2c+d=5,\quad -c+d=2.$$ 前半から$b=a-2,\ 3a=12$なので$a=4,\ b=2$。後半から$d=c+2,\ 3c=3$なので$c=1,\ d=3$。したがって $$A=\begin{pmatrix}4&2\\1&3\end{pmatrix}.$$$(2)$$$\displaystyle \det P=3,\qquad P^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\end{pmatrix}.$$ また $$AP=\begin{pmatrix}4&2\\1&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&-1\\1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}10&-2\\5&2\end{pmatrix}.$$ したがって $$\displaystyle P^{-1}AP=\frac13\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}10&-2\\5&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5&0\\0&2\end{pmatrix}.$$$(3)$初項は$\displaystyle \begin{pmatrix}p_1\\q_1\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} =\frac53\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} +\frac43\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}.$問題の条件から、$A$は直線$2y=x$上のベクトルを$5$倍し、直線$y=-x$上のベクトルを$2$倍する。このため、漸化式に従い $$\displaystyle \begin{pmatrix}p_n\\q_n\end{pmatrix} =\frac53\,5^{n-1}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} +\frac43\,2^{n-1}\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}.$$ これは$n=1$で成り立ち、$A$を$1$回作用させると第$1$項の係数に$5$、第$2$項の係数に$2$が掛かるので、すべての$n\ge1$で成立する。成分を読むと $$\displaystyle p_n=\frac{10\cdot5^{n-1}-4\cdot2^{n-1}}3,\qquad q_n=\frac{5\cdot5^{n-1}+4\cdot2^{n-1}}3.$$$\displaystyle (4)\ r_n=\left(\frac25\right)^{n-1}$とおく。上の式より $$\displaystyle d_n=\sqrt{p_n^2+q_n^2} =\frac{5^{n-1}}3\sqrt{(10-4r_n)^2+(5+4r_n)^2}.$$$r_n\to0$であり、平方根内の極限は$10^2+5^2=125>0$だから $$\displaystyle \frac{d_{n+1}}{d_n} =5\sqrt{\frac{(10-\frac85r_n)^2+(5+\frac85r_n)^2} {(10-4r_n)^2+(5+4r_n)^2}} \longrightarrow 5.$$