4九州大学 2007年 数学 第4問解答・解説

(1)　 2次方程式 (*) の判別式を $D=b^{2}-4ac$ とする。(*) が異なる二つの実数解をもつ条件は $D>0$、すなわち $b^{2}>4ac$ である。　 $a,b,c$ はいずれも1から6までの整数（さいころの目）だから、$b$ の最大値は6であり、$b^{2}$ の最大値は36である。ある $(a,c)$ に対して $b^{2}>4ac$ を満たす $b$ が1から6の中に存在するための必要十分条件は、最大の $b=6$ について $36>4ac$ が成り立つこと、すなわち $ac<9$ である（$ac<9$ ならば $b=6$ のとき $b^{2}=36>4ac$ が成り立ち条件を満たす $b$ が存在し、逆に $ac\ge 9$ なら $b=6$ でも $b^{2}=36\le 4ac$ となり、どの $b$ でも条件を満たさない）。$ac$ は整数だから $ac<9$ と $ac\le 8$ は同値である。　 よって、(*) が異なる二つの実数解をもつような $(a,b,c)$ が存在しうる $(a,c)$ は $ac\le 8$ を満たすものである。$a,c$ がそれぞれ1から6までの整数であるとして積を調べると、$$\begin{aligned} ac=1:&\ (a,c)=(1,1)\quad 1\text{通り}\\ ac=2:&\ (1,2),(2,1)\quad 2\text{通り}\\ ac=3:&\ (1,3),(3,1)\quad 2\text{通り}\\ ac=4:&\ (1,4),(4,1),(2,2)\quad 3\text{通り}\\ ac=5:&\ (1,5),(5,1)\quad 2\text{通り}\\ ac=6:&\ (1,6),(6,1),(2,3),(3,2)\quad 4\text{通り}\\ ac=8:&\ (2,4),(4,2)\quad 2\text{通り} \end{aligned}$$ （$ac=7$ は1から6の整数の積として実現できないので現れない。$ac=9$ は $(3,3)$ のみで実現するが、このときは $b=6$ でも $D=36-36=0$ となり重解となるため除かれる。）　 したがって、積 $ac$ の取りうる値は $1,2,3,4,5,6,8$ の7通りであり、それぞれの値に対する $(a,c)$ の組の数は上記の通りである。　 　 (2)　 (*) が異なる二つの有理数の解をもつのは、判別式 $D=b^{2}-4ac$ が正であり、かつ $D$ が自然数の2乗であるとき、かつその時に限る。　 実際、$a,b,c$ は整数で、解は $\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ である。$D$ が自然数の2乗でなければ、問題文で用いてよいとされた事実（自然数 $n$ が自然数の2乗でなければ $\sqrt{n}$ は無理数である）より $\sqrt{D}$ は無理数となり、整数 $a,b$ に対し $\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ は無理数となるから解は有理数にならない。逆に $D$ が自然数の2乗ならば $\sqrt{D}$ は整数（有理数）となり、解は有理数である。また $D>0$ であることが「異なる二つ」の実数解であるための条件であり（$D=0$ なら重解）、有理数解も当然実数解だから同じ条件を要する。　 そこで $D=b^{2}-4ac$ が正の平方数となる $(a,b,c)$ ($a,b,c$ はそれぞれ1から6までの整数) を $b$ の値ごとに数える。$$\begin{aligned} b=1:&\ D=1-4ac\le 1-4<0\ (ac\ge1)\ \text{よって}\ D>0\text{を満たすものなし}\\ b=2:&\ D=4-4ac=4(1-ac)\le 0\ (ac\ge1)\ \text{よって}\ D>0\text{を満たすものなし}\\ b=3:&\ D=9-4ac>0\text{、すなわち } ac\le 2.\quad ac=1:D=5(\text{平方数でない}),\ ac=2:D=1=1^{2}(\text{平方数})\\ &\text{よって} (a,c)=(1,2),(2,1)\ \text{の2通り}\\ b=4:&\ D=16-4ac>0\text{、すなわち } ac\le 3.\quad ac=1:D=12,\ ac=2:D=8\ (\text{ともに平方数でない}),\ ac=3:D=4=2^{2}\\ &\text{よって} (a,c)=(1,3),(3,1)\ \text{の2通り}\\ b=5:&\ D=25-4ac>0\text{、すなわち } ac\le 6.\quad ac=1,2,3,5:D=21,17,13,5\ (\text{いずれも平方数でない})\\ &ac=4:D=9=3^{2}\ \text{よって} (1,4),(4,1),(2,2)\ \text{の3通り};\quad ac=6:D=1=1^{2}\ \text{よって} (1,6),(6,1),(2,3),(3,2)\ \text{の4通り}\\ b=6:&\ D=36-4ac>0\text{、すなわち } ac\le 8.\quad ac=1,2,3,4,6:D=32,28,24,20,12\ (\text{いずれも平方数でない})\\ &ac=5:D=16=4^{2}\ \text{よって} (1,5),(5,1)\ \text{の2通り};\quad ac=8:D=4=2^{2}\ \text{よって} (2,4),(4,2)\ \text{の2通り} \end{aligned}$$ 　 したがって条件を満たす $(a,b,c)$ の総数は $$2+2+(3+4)+(2+2)=2+2+7+4=15\ \text{通り}$$ さいころを3回投げたときの目の出方は $6^{3}=216$ 通りですべて同様に確からしいから、求める確率は $$\displaystyle \dfrac{15}{216}=\dfrac{5}{72}.$$ 　 [検算] 例えば $b=5,\ (a,c)=(2,3)$ のとき $2x^{2}+5x+3=0$ は $(2x+3)(x+1)=0$ より $\displaystyle x=-\tfrac32,-1$ で異なる有理数解をもつ。$b=6,\ (a,c)=(4,2)$ のとき $4x^{2}+6x+2=0$ は $2(2x+1)(x+1)=0$ より $\displaystyle x=-\tfrac12,-1$ で異なる有理数解をもつ。他の12通りも同様に因数分解して確認でき、上の数え上げと矛盾しない。