5九州大学 2007年 数学 第5問解答・解説

(1) $y=|\sin x|$ のグラフは,$0\le x\le \pi$ では $y=\sin x$ とまったく同じ($\sin x\ge 0$ だから)山型の曲線(端点 $(0,0),(\pi,0)$,頂点 $(\pi/2,1)$)であり,これを $x$ 軸方向に $\pi$ ごとに繰り返し並べたグラフになる($\pi\le x\le 2\pi$ では $\sin x\le 0$ なので $|\sin x|=-\sin x$ となり,やはり同じ山型が現れる)。グラフは常に $y\ge 0$ で,$x=k\pi$($k$ は整数)で $0$ となる山が等間隔に並ぶ形である。

周期であること: $$|\sin(x+\pi)|=|-\sin x|=|\sin x|$$ より $\pi$ は $|\sin x|$ の周期である。

最小性:$0<p<\pi$ が周期だとすると,$x=0$ を代入して $$|\sin p|=|\sin 0|=0\quad\text{より}\quad \sin p=0\quad\text{より}\quad p=k\pi\ (k\text{ は整数})$$ となるが,$0<p<\pi$ を満たす整数 $k$ は存在しない。よって $\pi$ より小さい正の周期はなく,基本周期は $$\boxed{\pi}$$ である。

(2) 以下,$g(x)=|\sin(mx)|$($\ge 0$),$h(x)=\sin(nx)$ とおき,$f(x)=g(x)h(x)$ と書く。$p$ を $f$ の(0でない)周期とする,すなわち $$f(x+p)=f(x)\quad (\text{すべての実数 } x)\tag{I}$$ が成り立つとする。

(i) $f(p/2)=f(-p/2)=0$ の証明 まず $f$ は奇関数である。実際 $$f(-x)=|\sin(-mx)|\sin(-nx)=|\sin(mx)|\cdot(-\sin(nx))=-f(x).$$ (I) に $\displaystyle x=-\dfrac{p}{2}$ を代入すると $$\displaystyle f\!\left(\frac{p}{2}\right)=f\!\left(-\frac{p}{2}\right).$$ 一方,奇関数であることから $$\displaystyle f\!\left(-\frac{p}{2}\right)=-f\!\left(\frac{p}{2}\right).$$ この2式より $f(p/2)=-f(p/2)$,すなわち $$\displaystyle f\!\left(\frac{p}{2}\right)=0,\qquad f\!\left(-\frac{p}{2}\right)=0.$$

(ii) $mp\text{ は }\pi\text{ の整数倍}$ かつ $np\text{ は }2\pi\text{ の整数倍}$ の証明 (i) より $$\displaystyle \left|\sin\frac{mp}{2}\right|\sin\frac{np}{2}=0$$ であるから,次のいずれかが成り立つ: $$\displaystyle \text{(A)}\ \sin\frac{mp}{2}=0\quad\text{の必要十分条件は}\quad mp\text{ が }2\pi\text{ の整数倍であること},\qquad \text{(B)}\ \sin\frac{np}{2}=0\quad\text{の必要十分条件は}\quad np\text{ が }2\pi\text{ の整数倍であること}.$$

ここで補題を2つ用意する(いずれも初等的な三角関数の性質):

補題1 $\sin(\theta+\alpha)=\sin\theta$ がすべての $\theta$ で成り立つための必要十分条件は $\alpha$ が $2\pi$ の整数倍であること。($\text{十分性}$ は正弦関数の周期が $2\pi$ であることから成り立つ。$\text{必要性}$ は $\theta=0$ を代入すると $\sin\alpha=0$,かつ $\theta=\pi/2$ を代入すると $\cos\alpha=1$ となるので $\alpha\text{ は }2\pi\text{ の整数倍}$。)

補題2 $|\sin(\theta+\alpha)|=|\sin\theta|$ がすべての $\theta$ で成り立つための必要十分条件は $\alpha$ が $\pi$ の整数倍であること。($\text{十分性}$ は $\sin(\theta+k\pi)=(-1)^k\sin\theta$ より成り立つ。$\text{必要性}$ は $\theta=0$ を代入して $\sin\alpha=0$,よって $\alpha=j\pi$。)

(B) の場合($np\text{ は }2\pi\text{ の整数倍}$)を仮定する。 補題1(の $\text{十分性}$)より $h(x+p)=\sin(nx+np)=\sin(nx)=h(x)$ がすべての $x$ で成り立つ。これを (I) の $g(x+p)h(x+p)=g(x)h(x)$ に代入すると $$\bigl(g(x+p)-g(x)\bigr)h(x)=0\quad(\text{すべての }x).$$ $h(x)=\sin(nx)$ の零点は $x=k\pi/n$($k\text{ は整数}$)という孤立点のみだから,それ以外の $x$ では $$g(x+p)=g(x)$$ が成り立つ。孤立零点 $x_0=k\pi/n$ については,その近くの(零点でない)点列 $x_0+\varepsilon\ (\varepsilon\to0,\ \varepsilon\ne0)$ で $g(x_0+\varepsilon+p)=g(x_0+\varepsilon)$ が成り立ち,$g$ は連続関数(絶対値と正弦関数の合成)なので $\varepsilon\to0$ の極限をとれば $g(x_0+p)=g(x_0)$ も成り立つ。したがって $$g(x+p)=g(x)\quad(\text{すべての }x),$$ すなわち $|\sin(m(x+p))|=|\sin(mx)|$ がすべての $x$ で成り立つ。補題2の($\text{必要性}$)より $mp\text{ は }\pi\text{ の整数倍}$。 この場合,仮定 $np\text{ は }2\pi\text{ の整数倍}$ と合わせて,$mp\text{ は }\pi\text{ の整数倍}$ かつ $np\text{ は }2\pi\text{ の整数倍}$ が成り立つ。

(A) の場合($mp\text{ は }2\pi\text{ の整数倍}$)を仮定する。 同様に補題2($\text{十分性}$,$\alpha=mp\text{ は }2\pi\text{ の整数倍}\text{ であり、したがって }\pi\text{ の整数倍}$)より $g(x+p)=|\sin(mx+mp)|=|\sin(mx)|=g(x)$ がすべての $x$ で成り立つ。(I) に代入すると $$g(x)\bigl(h(x+p)-h(x)\bigr)=0\quad(\text{すべての }x).$$ $g(x)=|\sin(mx)|$ の零点も $x=j\pi/m$ という孤立点のみだから,同様に「零点以外で $h(x+p)=h(x)$」→「連続性により孤立点でも成立」という手順で $$h(x+p)=h(x)\quad(\text{すべての }x),$$ すなわち $\sin(n(x+p))=\sin(nx)$ がすべての $x$ で成り立つ。補題1(の $\text{必要性}$)より $np\text{ は }2\pi\text{ の整数倍}$。これと仮定 $mp\text{ は }2\pi\text{ の整数倍}\text{ であり、したがって }\pi\text{ の整数倍}$ より,やはり $mp\text{ は }\pi\text{ の整数倍}$ かつ $np\text{ は }2\pi\text{ の整数倍}$ が成り立つ。

(A),(B) いずれの場合も同じ結論が出るので,(A) または (B) が必ず成り立つことと合わせて, $$\boxed{mp\ \text{は}\ \pi\ \text{の整数倍であり},\quad np\ \text{は}\ 2\pi\ \text{の整数倍である。}}$$

(3) $m,n$ は $1$ 以外の公約数をもたない自然数とする。

必要条件から十分条件へ (2) より,$p(>0)$ が $f$ の周期であるためには $$mp=a\pi,\qquad np=2b\pi\qquad(a,b\ \text{は正の整数})$$ と書けることが必要である。逆にこの形の $p$ は実際に周期である。なぜなら,$a$ が整数だから $$g(x+p)=|\sin(mx+a\pi)|=|(-1)^a\sin(mx)|=|\sin(mx)|=g(x),$$ $b$ が整数だから $$h(x+p)=\sin(nx+2b\pi)=\sin(nx)=h(x)$$ がすべての $x$ で成り立ち,積をとれば $f(x+p)=f(x)$ となるからである。 したがって,$p>0$ が $f$ の周期であることは,ある正の整数 $a,b$ が存在して $mp=a\pi,\ np=2b\pi$ となることと同値である。

最小の $p$ を求める $mp=a\pi,\ np=2b\pi$ の両辺から $p$ を消去すると $$\displaystyle \frac{a\pi}{m}=\frac{2b\pi}{n}\quad\text{より}\quad an=2bm.$$ $\gcd(m,n)=1$ かつ $m\mid an$ だから $m\mid a$。そこで $a=mc$($c$ は正の整数)とおくと,このとき $$\displaystyle p=\frac{a\pi}{m}=c\pi$$ であり,また $an=2bm$ に $a=mc$ を代入すると $mcn=2bm$,すなわち $$\displaystyle b=\frac{cn}{2}$$ となる。$b$ が正の整数であるための条件は「$cn$ が偶数であること」である。

・ $n$ が偶数のとき:$c=1$ でも $cn=n$ は偶数なので条件を満たす。よって最小の $c$ は $1$,すなわち $p=\pi$ が(存在しうる最小の)周期であり,実際に周期であることは上で確認済み。

・ $n$ が奇数のとき:$c=1$ では $cn=n$ は奇数となり不適。$c=2$ ならば $cn=2n$ は偶数となり条件を満たす。よって最小の $c$ は $2$,すなわち $p=2\pi$ が最小の周期である。

(周期は必ず $p=c\pi$ の形であり,$c$ は「$cn$ が偶数」という条件を満たす最小の正整数として一意に定まるので,これが基本周期である。)

以上より,関数 $|\sin(mx)|\sin(nx)$($\gcd(m,n)=1$)の基本周期は $$\boxed{\begin{cases}\pi & (n\ \text{が偶数のとき})\\ 2\pi & (n\ \text{が奇数のとき})\end{cases}}$$ である(この値は $m$ の値には依存しない)。

検算

・ $m=2,n=1$($n$奇数):予想は $2\pi$。実際 $f(x+\pi)=|\sin(2x+2\pi)|\sin(x+\pi)=|\sin2x|(-\sin x)=-f(x)\ne f(x)$ となり $\pi$ は周期でない一方,$f(x+2\pi)=|\sin2x|\sin x=f(x)$ で $2\pi$ は周期。整合する。

・ $m=1,n=2$($n$偶数):予想は $\pi$。実際 $f(x+\pi)=|\sin(x+\pi)|\sin(2x+2\pi)=|\sin x|\sin2x=f(x)$ となり成立し,$x=\pi/4$ で $f(\pi/4+\pi/2)=f(3\pi/4)=-\sqrt2/2\ne f(\pi/4)=\sqrt2/2$ より $p/2=\pi/2$ は周期でなく,$\pi$ が最小であることとも整合する。