2富山大学 2012年 数学 第2問解答・解説

$f(x)=\arctan x$ である。 (1) 条件より $0<\arctan(p/k),\arctan(p/\ell)<\pi/2$ で、和は $\pi/4$。正接の加法公式から $$\displaystyle \frac{p/k+p/\ell}{1-p^2/(k\ell)}=1 \quad\text{すなわち}\quad (k-p)(\ell-p)=2p^2.$$ 右辺は正なので $k-p,\ell-p$ は同符号。もし両方負なら $p/k>1,\ p/\ell>1$ となり、2つの角の和は $\pi/2$ より大きくなって矛盾する。したがって $k,\ell>p$。 $p\ge3$ は奇素数なので、$2p^2$ の正の因数対で $k-p\le\ell-p$ となるものは $$(1,2p^2),\quad(2,p^2),\quad(p,2p).$$ よって求める組は $$(k,\ell)=(p+1,p+2p^2),\quad(p+2,p+p^2),\quad(2p,3p).$$ (2) $f(m/n)=\arctan(m/n)$ と倍角公式から $$\displaystyle \sin\{2f(m/n)\} =\frac{2(m/n)}{1+(m/n)^2} =\frac{2mn}{m^2+n^2}.$$ (3) (2)を用いて $$\displaystyle \frac1n\sum\limits _{m=1}^n\sin\{2f(m/n)\} =\frac1n\sum\limits _{m=1}^n \frac{2(m/n)}{1+(m/n)^2}.$$ これは $g(x)=2x/(1+x^2)$ の $0\le x\le1$ の範囲を分けた各小区間の右端の値を用いる区分求積法の和なので、極限は $$\displaystyle \int_0^1\frac{2x}{1+x^2}\,dx =\left[\log(1+x^2)\right]_0^1 =\log2.$$

f(x)=arctan x。第1問は正接の加法公式で自然数の積の条件に変え、素数pの約数から解を列挙する。第2問は正接の倍角公式。第3問は第2問の式を区分求積法の和として見て、対応する定積分を計算する。