1富山大学 2012年 数学 第1問解答・解説

(1) $t\ge0$ に対し $g(t)=e^t-1-t$ とおく。$g(0)=0$、$g'(t)=e^t-1\ge0$ より $g(t)\ge0$。$t=x^2$ とすると $e^{x^2}\ge1+x^2>0$ なので $$\displaystyle \boxed{e^{-x^2}\le\frac1{1+x^2}}.$$ $t>0$ では $g'(t)>0$ だから、$x\ne0$ ならこの不等式は厳密である。 (2) $0<x<1$ では $x^2<x$ から $e^{-x^2}>e^{-x}$。連続な関数の積分を比較して $$\displaystyle \int_0^1e^{-x^2}\,dx>\int_0^1e^{-x}\,dx=1-e^{-1}=\frac{e-1}{e}.$$ 一方、(1)より $$\displaystyle \int_0^1e^{-x^2}\,dx<\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}.$$ 右辺を $x=\tan\theta$ と置換すると $$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\int_0^{\pi/4}\frac{1/\cos^2\theta}{1+\tan^2\theta}\,d\theta=\frac\pi4.$$ 従って求める両側の厳密な不等式が成り立つ。