2北海道大学 2001年 数学 第2問解答・解説

不等式を変形すると $cx^2\ge1-\cos2x=2\sin^2x$ となる。$x=0$ では常に等号であり、$x\ne0$ では $$\displaystyle c\ge2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2.$$ 全ての実数xで成立するとき、$x\to0$ の極限から $c\ge2$ が必要である。 逆に $c\ge2$ とする。$t\ge0$ に対し $t-\sin t$ と $t+\sin t$ はともにt=0で0、導関数はそれぞれ $1-\cos t\ge0,1+\cos t\ge0$。従って $-t\le\sin t\le t$。奇関数性を使うと全実数xで $|\sin x|\le|x|$ だから $$cx^2\ge2x^2\ge2\sin^2x=1-\cos2x.$$ よって必要十分条件は $\boxed{c\ge2}$ である。