琉球大学 2002年数学第4問解答・解説

微分法積分法極限三角関数

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1問題

琉球大学2002年度第4問

次の問いに答えよ。（50点）

問1 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ のとき、 $\displaystyle \frac{2}{\pi}x<\sin x$ が成り立つ事を示せ。

問2 $\displaystyle \lim\limits _{r\to\infty}r\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-r^2\sin x}\,dx$ を求めよ。

（解答は次のページを使用すること）

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad \frac{2}{\pi}x<\sin x\quad$ （ $\quad 0<x<\pi/2\quad$ ）。(2) $\quad 0\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle f(x)=\sin x-\frac{2}{\pi}x$ とする。 $f''(x)=-\sin x<0$ 、 $f'(0)=1-2/\pi>0$ 、 $f'(\pi/2)=-2/\pi<0$ 。従って $f$ は内部の唯一の点で最大となり、 $f(0)=f(\pi/2)=0$ から $f(x)>0$ （ $0<x<\pi/2$ ）。

$r>0$ なら $\displaystyle 0<r\int_0^{\pi/2}e^{-r^2\sin x}\,dx\le r\int_0^{\pi/2}e^{-2r^2x/\pi}\,dx=\frac{\pi}{2r}(1-e^{-r^2})\le\frac{\pi}{2r}$ 。右端は $r\to\infty$ で0になるから、求める極限は0。

差の二階導関数と端点値から厳密不等式を示し、指数関数の単調性と積分評価ではさみうちを用いる。

この問題で使う考え方

二階導関数による凹性
指数関数の単調性
積分の評価とはさみうち

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