1琉球大学 2002年 数学 第1問解答・解説

与えられた関係式から $$A^2+A=-E$$ である。これに左から $A$ を掛けると $$A^3+A^2+A=O$$ を得る。ここで $A^2+A=-E$ を用いれば $A^3-E=O$、したがって $$A^3=E$$ となる。これで問1が示された。

次に、指定された積を計算する。まず $$\begin{aligned} (A-E)(2A^2+A) &=2A^3+A^2-2A^2-A\\ &=2A^3-(A^2+A)\\ &=2E-(-E)=3E. \end{aligned}$$ また、任意の実数 $t$ に対して $$\begin{aligned} (A-tE)(A^2+tA+t^2E) &=A^3+tA^2+t^2A-tA^2-t^2A-t^3E\\ &=A^3-t^3E=(1-t^3)E. \end{aligned}$$ ここで、どの因子も $A$ と $E$ の多項式であるため互いに可換であり、上の積の順序を逆にしても同じ結果となる。したがって、右辺を適切に定数倍すれば、左から掛けても右から掛けても単位行列になる。

$t=1$ のときは最初の計算より $$\displaystyle (A-E)\frac{2A^2+A}{3}=E$$ であるから、$A-E$ の逆行列は $\displaystyle \dfrac{2A^2+A}{3}$ である。

$t\ne1$ のとき、 $$1-t^3=(1-t)(1+t+t^2)\ne0$$ である。実際、$\displaystyle 1+t+t^2=(t+\tfrac12)^2+\tfrac34>0$ である。よって二つ目の計算から $$\displaystyle (A-tE)\frac{A^2+tA+t^2E}{1-t^3}=E$$ となり、右辺の分数行列が $A-tE$ の逆行列である。以上により、すべての実数 $t$ に対して $A-tE$ は逆行列をもつ。