3琉球大学 2002年 数学 第3問解答・解説

(問1)　 $1\leq a\leq e$ より $0\le\ln a\le1$ である。曲線と $x$ 軸の交点は $x=\ln a$ であり、$e^x$ は増加するので、$0\leq x\leq\ln a$ では $e^x-a\leq0$、$\ln a\leq x\leq1$ では $e^x-a\geq0$ となる。したがって、 $$\displaystyle S(a)=\int_0^{\ln a}(a-e^x)\,dx+\int_{\ln a}^1(e^x-a)\,dx.$$ 各積分を計算すると、 $$S(a)=a\ln a-a+1+e-2a+a\ln a=2a\ln a-3a+e+1.$$ (問2)　 この式を微分すると、 $$S'(a)=2(\ln a+1)-3=2\ln a-1.$$ $\ln a$ は増加するので、$1\leq a<\sqrt e$ では $S'(a)<0$、$a=\sqrt e$ では $S'(a)=0$、$\sqrt e<a\leq e$ では $S'(a)>0$ である。よって $S(a)$ は $a=\sqrt e$ で最小となる。その値は、 $$\displaystyle S(\sqrt e)=2\sqrt e\cdot\frac12-3\sqrt e+e+1=e+1-2\sqrt e=(\sqrt e-1)^2.$$