3九州大学 2002年 数学 第3問解答・解説

(1)　 $y>0$ を任意に固定し，$x>0$ の関数 $$\varphi(x)=x\log x-x\log y-x+y$$ を考える。$\varphi$ は $x>0$ で微分可能で $$\displaystyle \varphi'(x)=(\log x+1)-\log y-1=\log x-\log y=\log\frac{x}{y}$$ である。自然対数関数は正の実数の範囲で単調増加であるから，$\varphi'(x)$ の符号は $x-y$ の符号と一致する。すなわち $$0<x<y\ \text{のとき}\ \varphi'(x)<0,\qquad x=y\ \text{のとき}\ \varphi'(x)=0,\qquad x>y\ \text{のとき}\ \varphi'(x)>0$$ であるから，$\varphi$ は $0<x\leq y$ で減少，$x\geq y$ で増加し，$x=y$ で最小値をとる。ゆえに任意の $x>0$ に対して $$\varphi(x)\geq\varphi(y)=y\log y-y\log y-y+y=0$$ が成り立つ。すなわち，すべての正の実数 $x,y$ に対して $$x\log x-x\log y-x+y\geq0$$ が成り立つ。等号は $\varphi'(x)=0$ となる $x=y$ のとき，かつそのときに限る。 $\blacksquare$

(2)　 $a\le t\le b$ を満たす各 $t$ に対して $f(t)>0,\ g(t)>0$ であるから，(1) の不等式において $x=f(t),\ y=g(t)$ とおくことができ， $$f(t)\log f(t)-f(t)\log g(t)-f(t)+g(t)\geq0\qquad(a\leq t\leq b)$$ が成り立つ。左辺を $$H(t)=f(t)\log f(t)-f(t)\log g(t)-f(t)+g(t)$$ とおくと，$f,g$ が $a\le t\le b$ の範囲で連続かつ正であることと $\log$ が正の実数上で連続であることから，$H(t)$ も $a\le t\le b$ の範囲で連続であり，上で示したように $H(t)\geq0\ (a\leq t\leq b)$ である。連続関数の定積分の性質（区間で常に $0$ 以上の連続関数の定積分は $0$ 以上であること，および定積分の線形性）と $a<b$ より $$\displaystyle \int_a^b H(t)\,dt\geq0,$$ すなわち $$\displaystyle \int_a^b f(t)\log f(t)\,dt-\int_a^b f(t)\log g(t)\,dt-\int_a^b f(t)\,dt+\int_a^b g(t)\,dt\geq0$$ が成り立つ。仮定より $\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^b g(t)\,dt$ であるから，上式左辺の後半2項は打ち消し合って $0$ となり， $$\displaystyle \int_a^b f(t)\log f(t)\,dt\geq\int_a^b f(t)\log g(t)\,dt$$ が得られる。これが示すべき不等式である。 $\blacksquare$

(3)　 $f(x)$ は $a\le x\le b$ の範囲で正の値をとる連続関数であるから $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx>0$ であり，よって $$\displaystyle M=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx>0.$$ $a\le x\le b$ の範囲で常に値 $M$ をとる定数関数 $g(x)=M$ を考えると，$g$ は $a\le x\le b$ の範囲で正の値をとる連続関数であり， $$\displaystyle \int_a^b g(x)\,dx=\int_a^b M\,dx=M(b-a)=\int_a^b f(x)\,dx$$ が成り立つ（最後の等号は $M$ の定義による）。したがって，$f(x)$ とこの $g(x)=M$ は (2) の仮定（$a\le x\le b$ の範囲で正の連続関数であり，かつ $a\le x\le b$ の範囲の定積分が等しいこと）をみたす。よって (2) より $$\displaystyle \int_a^b f(x)\log f(x)\,dx\geq\int_a^b f(x)\log M\,dx=\log M\int_a^b f(x)\,dx=(\log M)\cdot M(b-a)=M(b-a)\log M$$ が成り立つ。$b-a>0$ であるから両辺を $b-a$ で割ると $$\displaystyle \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\log f(x)\,dx\geq M\log M$$ が得られる。 $\blacksquare$