1徳島大学 2010年 数学 第1問解答・解説

(1) f(x)=x-$\log$ x (x>0) とおくと、$$\displaystyle f'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}.$$したがって 0<x<1 で f'(x)<0、 x>1 で f'(x)>0 であるから、 f は x=1 で最小となる。 f(1)=1 より f(x)$\ge$ 1>0 であり、 x>$\log$ x が示された。　 (2) (1)よりa≦x≦a+1の範囲で直線 y=x が曲線 y=$\log$ x より上にある。よって$$\displaystyle S=\int_a^{a+1}(x-\log x)\,dx.$$$\displaystyle \frac{d}{dx}$$\displaystyle \left(\frac{x^2}{2}-x\log x+x\right)$=x-$\log$ x より、$$\displaystyle S=\left[\frac{x^2}{2}-x\log x+x\right]_a^{a+1}=a+\frac32-(a+1)\log(a+1)+a\log a.$$　 (3) a>0 において$$\displaystyle S'(a)=1-\log\frac{a+1}{a}.$$$\log$ は増加関数であり、$\displaystyle \frac{a+1}{a}$=1+$\displaystyle \frac1a$ は a とともに減少する。 S'(a)=0 は$\displaystyle \frac{a+1}{a}$=e、すなわち a=$\displaystyle \frac1{e-1}$ のときに限る。 0<a<$\displaystyle \frac1{e-1}$ なら$\displaystyle \frac{a+1}{a}$>e なので S'(a)<0、 a>$\displaystyle \frac1{e-1}$ なら$\displaystyle \frac{a+1}{a}$<e なので S'(a)>0。したがって S は a=$\displaystyle \frac1{e-1}$ で最小となる。このとき a+1=ea だから$$(a+1)\log(a+1)-a\log a=a+1+\log a,$$ゆえに$$\displaystyle S_{\min}=a+\frac32-(a+1+\log a)=\frac12-\log a=\frac12+\log(e-1).$$