4愛媛大学 2016年 数学 第4問解答・解説

(1) 定義域は実数全体であり、$e^{-x}>0$ である。 $$f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}.$$ したがって、$x<1$ では$f'(x)>0$、$x>1$ では$f'(x)<0$ であるから、$f$ は$x<1$で増加し、$x>1$で減少する。よって$x=1$で極大となり、極大値は$f(1)=1/e$である。極小値はない。$f(0)=0$であり、$x<0$では$f(x)<0$、$x>0$では$f(x)>0$である。また、$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f(x)=0$であり、$x=-u$（$u\to\infty$）とおくと$f(x)=-ue^u\to-\infty$である。したがって、グラフ$C_1$は左下から上昇して原点を通り、$(1,1/e)$で最高点をとった後、正の値を保ったまま下降して、右方で$x$軸に近づく。

(2) $t=\log a$とおくと、$a>1$より$t>0$であり、$C_2$の方程式は$y=f(x-t)=(x-t)e^{-(x-t)}$である。交点では $$xe^{-x}=(x-t)e^{-(x-t)}.$$ 両辺に$e^x$を掛けると$x=e^t(x-t)=a(x-t)$となる。よって$(a-1)x=at$であり、$a-1>0$だから $$\displaystyle x=\frac{at}{a-1}=\frac{a\log a}{a-1}.$$ この方程式は一次方程式で解が一つに定まるので、これが交点の$x$座標である。

(3) $t=\log 2$とおくと、$A=(t,0)$であり、(2)より$C_1,C_2$の交点の$x$座標は$2t$である。$0\le x\le t$では$C_1$が$x$軸の上にある。また、$t\le x\le2t$では $$f(x)-f(x-t)=xe^{-x}-(x-t)e^{-(x-t)}=e^{-x}(2t-x)\ge0,$$ したがって$C_1$が$C_2$の上にある。よって囲まれた部分の面積は $$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_0^t f(x)\,dx+\int_t^{2t}\bigl(f(x)-f(x-t)\bigr)\,dx\\&=\int_t^{2t}f(x)\,dx,\end{aligned}$$ となる。ここで、後半の差のうち$\displaystyle \int_t^{2t}f(x-t)\,dx=\int_0^t f(u)\,du$を用いた。$\displaystyle \int xe^{-x}\,dx=-(x+1)e^{-x}$より、 $$\displaystyle \begin{aligned}S&=\left[-(x+1)e^{-x}\right]_t^{2t}\\&=(t+1)e^{-t}-(2t+1)e^{-2t}\\&=\frac{t+1}{2}-\frac{2t+1}{4}=\frac14. \end{aligned}$$ よって、求める面積は$\boxed{1/4}$である。