愛媛大学 2016年数学第8問解答・解説

1問題

愛媛大学2016年度第8問

(理学部・工学部（環境建設工学科社会デザインコースを除く）・医学部) $z_0$ を虚数単位 $i$ と異なる複素数とする。複素数 $z_n$ を $\displaystyle z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2}\quad(n=1,2,3,\ldots)$ によって定める。

(1) すべての自然数 $n$ に対し $z_n\neq i$ であることを示せ。

(2) $\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$ の絶対値 $r$ と偏角 $\theta$ を求めよ。ただし、 $\theta$ の範囲は $0\leq\theta<2\pi$ とする。

(3) $z_m=z_0$ となる最小の自然数 $m$ を求めよ。

(4) 複素数平面上において $z_n$ の表す点を $P_n$ とする。(3)で求めた $m$ に対し、 $m$ 本の線分 $P_0P_1,P_1P_2,\ldots,P_{m-1}P_m$ で囲まれる図形の面積を $S$ とする。 $z_0=1-i$ のとき $S$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $w_n=z_n-i$ とおくと $w_n=cw_{n-1}$ （ $\displaystyle c=\frac{1+i}{\sqrt2},\quad |c|=1,\quad \arg c=\frac\pi4$ ）となる。 $z_0\ne i$ より $w_0\ne0$ であり、 $|c|=1\ne0$ だから、数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ で $w_n\ne0$ 、すなわち $z_n\ne i$ である。
(2) $\displaystyle r=1,\quad\theta=\frac\pi4$
(3) $m=8$
(4) $S=10\sqrt2$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$w_n=z_n-i$ 、 $c=(1+i)/\sqrt2$ とおくと、与えられた漸化式は $\displaystyle w_n=cw_{n-1},\qquad |c|=1,\qquad c=\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4$ となる。

(1) 仮定から $w_0\ne0$ である。 $w_k\ne0$ ならば $c\ne0$ より $w_{k+1}=cw_k\ne0$ 。数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ で $w_n\ne0$ 、したがって $z_n\ne i$ である。

(2) (1)から分母は0でなく、 $(z_n-i)/(z_{n-1}-i)=c$ 。よって $r=1$ 、指定範囲 $0\le\theta<2\pi$ では $\theta=\pi/4$ 。

(3) 漸化式を繰り返すと $w_n=c^nw_0$ 。 $w_0\ne0$ なので $z_m=z_0\text{ の必要十分条件は }c^m=1,\quad\text{すなわち }m\pi/4=2\pi k\text{（$k$ は整数）}.$ したがって最小の自然数は $\boxed{m=8}$ 。

(4) $z_0=1-i$ のとき $w_0=1-2i$ 、 $|w_0|=\sqrt5$ 。各点は $i$ を中心として $\pi/4$ ずつ回転するため、 $P_0,\ldots,P_7$ は半径 $\sqrt5$ の円に内接する正八角形の頂点である。中心と隣接する2頂点で作る三角形8個に分ければ $\displaystyle S=8\cdot\frac12(\sqrt5)^2\sin\frac\pi4=\boxed{10\sqrt2}.$

この問題で使う考え方

固定点を引く置換
数学的帰納法
ド・モアブルの定理
三角形の面積公式

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