1金沢大学 2016年 数学 第1問解答・解説

漸化式より$$\displaystyle z_{n+1}=a_{n+1}+ib_{n+1}=\left(\frac{\sqrt2}{4}+i\frac{\sqrt6}{4}\right)(a_n+ib_n)$$である。したがって$$\displaystyle w=\frac{\sqrt2+i\sqrt6}{4},\quad |w|=\sqrt{\frac{2+6}{16}}=\frac1{\sqrt2},\quad w=\frac1{\sqrt2}e^{i\pi/3}.$$よって乗法 $w$ は原点中心の反時計回り $\pi/3$ 回転と $1/\sqrt2$ 倍の縮小を表す。初項 $z_1=2+2i=2\sqrt2 e^{i\pi/4}$ から$$\displaystyle z_n=z_1w^{n-1}=2\sqrt2\left(\frac1{\sqrt2}\right)^{n-1}e^{i(\pi/4+(n-1)\pi/3)}=2^{2-n/2}e^{i(\pi/4+(n-1)\pi/3)}.$$実部と虚部を比較すれば$$\displaystyle a_n=2^{2-n/2}\cos\left(\frac\pi4+\frac{(n-1)\pi}3\right),\quad b_n=2^{2-n/2}\sin\left(\frac\pi4+\frac{(n-1)\pi}3\right).$$また $\arg z_n=\pi/4+(n-1)\pi/3$ なので、連続する $T_n$ の角度範囲は幅 $\pi/3$ の隣り合う扇形に当たり、$T_1,\ldots,T_6$ の内部は互いに重ならず、ちょうど一周を覆う。さらに$$\displaystyle w^6=\left(\frac1{\sqrt2}e^{i\pi/3}\right)^6=\frac18,\quad z_{n+6}=\frac18z_n,\quad T_{n+6}=\frac18T_n.$$三角形 $T_n$ は原点を含む凸図形であるため、原点中心に $1/8$ 倍した $T_n$ は $T_n$ に含まれる。したがって $n>6$ の各図形は対応する $T_1,\ldots,T_6$ の内部に含まれ、黒い領域の面積は最初の6個の三角形の面積の和である。各面積は$$\displaystyle [T_n]=\frac12|z_n||z_{n+1}|\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{4}|z_n||z_{n+1}|=\sqrt6\left(\frac12\right)^{n-1}.$$よって$$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{6}[T_n]=\sqrt6\sum\limits _{k=0}^{5}\left(\frac12\right)^k=\sqrt6\cdot\frac{1-(1/2)^6}{1-1/2}=\frac{63\sqrt6}{32}.$$