3京都府立医科大学 2019年 数学 第3問解答・解説

(1)　 $\alpha=a+bi$, $z=x+yi$ ($a,b,x,y$ は実数) とおく。 $|\alpha|=1$ より $a^2+b^2=1$である。円$C$の中心から点$\alpha$ へ向かう半径の方向ベクトルは$(a,b)$であり、接線$l$はこの半径に垂直で点$(a,b)$を通る。したがって、$z=(x,y)$が$l$上にあることは $$a(x-a)+b(y-b)=0,\quad\text{すなわち}\quad ax+by=1$$ と同値である。一方、 $$\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z} =2\operatorname{Re}(\overline{\alpha}z)=2(ax+by).$$ また$|\alpha|=1$なので、等式 $z+\alpha^2\overline z=2\alpha$ の両辺に$\overline{\alpha}$を掛けると $$\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}=2$$ となる。これは$ax+by=1$と同値である。よって$l$上の点$z$は $$z+\alpha^{2}\overline{z}=2\alpha$$ を満たす。

(2)　 添字を巡回させるため$\alpha_{n+1}=\alpha_1$ とおく。各$k$について、$z_k$は$l_k$と$l_{k+1}$の交点だから、(1)より $$z_k+\alpha_k^{2}\overline{z_k}=2\alpha_k,\qquad z_k+\alpha_{k+1}^{2}\overline{z_k}=2\alpha_{k+1}.$$ この2式を引くと $$(\alpha_k^{2}-\alpha_{k+1}^{2})\overline{z_k} =2(\alpha_k-\alpha_{k+1}).$$ 仮定より$\alpha_k^2\ne\alpha_{k+1}^2$であるから、$\alpha_k\ne\alpha_{k+1}$かつ$\alpha_k+\alpha_{k+1}\ne0$である。左辺の係数を因数分解して$\alpha_k-\alpha_{k+1}$を約すと $$(\alpha_k+\alpha_{k+1})\overline{z_k}=2.$$ 共役をとれば$(\overline{\alpha_k}+\overline{\alpha_{k+1}})z_k=2$であるため$z_k\ne0$であり、 $$\displaystyle \frac{1}{z_k}=\frac{\overline{\alpha_k}+\overline{\alpha_{k+1}}}{2}$$ を得る。これを$k=1,\ldots,n$について加えると、巡回の各$\overline{\alpha_k}$がちょうど2回ずつ現れるので $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{z_k} =\frac12\sum\limits _{k=1}^{n}(\overline{\alpha_k}+\overline{\alpha_{k+1}}) =\sum\limits _{k=1}^{n}\overline{\alpha_k}.$$

(3)　 ド・モアブルの定理により、与えられた$\alpha$に対して$\alpha_k=\alpha^k$であり、$|\alpha|=1$だから$\overline{\alpha_k}=\alpha^{-k}$である。(2)を用いると $$\displaystyle (\alpha-1)\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{z_k} =(\alpha-1)\sum\limits _{k=1}^{n}\alpha^{-k} =\sum\limits _{k=1}^{n}\bigl(\alpha^{1-k}-\alpha^{-k}\bigr) =1-\alpha^{-n}.$$ 最後の等式では隣り合う項が相殺される。さらに再びド・モアブルの定理より $$\displaystyle \alpha^n=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i,\qquad \alpha^{-n}=\frac{1}{i}=-i.$$ したがって求める値は $$1-\alpha^{-n}=1+i.$$ 検算として、上の有限和を展開すると $$(1-\alpha^{-1})+(\alpha^{-1}-\alpha^{-2})+\cdots+ (\alpha^{1-n}-\alpha^{-n})=1-\alpha^{-n}$$ となり、中間項がすべて消えるため、符号も一致する。