1京都府立医科大学 2019年 数学 第1問解答・解説

(1) $$\displaystyle f(-x)=f(x),\qquad f'(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2,\qquad f''(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2=f(x)>0.$$ したがって曲線は$y$軸に関して対称で、常に下に凸である。　 また$f'(x)<0$は$x<0$、$f'(0)=0$、$f'(x)>0$は$x>0$で成り立つので、$x=0$で最小値$f(0)=1$をとる。さらに $$\displaystyle f(x)-1=\frac12\left(e^{x/2}-e^{-x/2}\right)^2\geq 0$$ であり、等号は$x=0$のときに限るから、$x$軸とは交わらない。$x\to\pm\infty$で$f(x)\to+\infty$である。よって、$(0,1)$を底とし、左右対称に両端が上昇する滑らかな曲線を描けばよい。 $$\begin{array}{c|ccccc} x&-\infty&&0&&+\infty\\ \hline f'(x)&&-&0&+&\\ f(x)&+\infty&\searrow&1&\nearrow&+\infty \end{array}$$

(2) $P_{k-1}$と$P_k$を結ぶ直線の式を $$L_k(x)=(k-x)f(k-1)+(x-k+1)f(k)\qquad (k-1\leq x\leq k)$$ とおく。$f''(x)>0$だから$f$は狭義凸であり、この区間の内部では弦が曲線より上にある。従って $$\displaystyle a_k=\int_{k-1}^{k}\{L_k(x)-f(x)\}\,dx =\frac{f(k-1)+f(k)}2-\int_{k-1}^{k}f(x)\,dx.$$ 各項は $$\displaystyle \frac{f(k-1)+f(k)}2 =\frac{e+1}{4}\left(e^{k-1}+e^{-k}\right),$$ $$\displaystyle \int_{k-1}^{k}f(x)\,dx =\frac12\left[e^x-e^{-x}\right]_{k-1}^{k} =\frac{e-1}{2}\left(e^{k-1}+e^{-k}\right)$$ である。よって $$\displaystyle \boxed{a_k=\frac{3-e}{4}\left(e^{k-1}+e^{-k}\right)}.$$

(3) $e>1$なので等比数列の和の公式を使える。(2)を足し合わせると $$\displaystyle \begin{aligned} S_n&=\frac{3-e}{4}\left(\sum\limits _{k=1}^{n}e^{k-1}+\sum\limits _{k=1}^{n}e^{-k}\right)\\ &=\frac{3-e}{4}\left(\frac{e^n-1}{e-1}+\frac{1-e^{-n}}{e-1}\right) =\boxed{\frac{3-e}{4(e-1)}\left(e^n-e^{-n}\right)}. \end{aligned}$$

(4) 曲線の長さの公式と$\displaystyle f'(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2$より、$f(x)>0$に注意すれば $$\displaystyle \sqrt{1+\{f'(x)\}^2} =\sqrt{\left(\frac{e^x+e^{-x}}2\right)^2} =f(x)$$ である。従って $$\displaystyle l_n=\int_0^n\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx =\int_0^n f(x)\,dx =\frac12\left[e^x-e^{-x}\right]_0^n =\frac{e^n-e^{-n}}2>0.$$ これを(3)に代入し、$n\geq1$ゆえに$e^n-e^{-n}>0$であることから約分して $$\displaystyle \boxed{\frac{S_n}{l_n}=\frac{3-e}{2(e-1)}}.$$ 検算として$n=1$では $\displaystyle S_1=\frac{3-e}{4(e-1)}(e-e^{-1})=\frac{3-e}{4}(1+e^{-1})=a_1$ となり、和の式は(2)と一致する。また$l_1=(e-e^{-1})/2$を使うと同じ比が得られる。