3熊本大学 2016年 数学 第3問解答・解説

まず、$\alpha-2=2\left((\cos\theta-1)+i\sin\theta\right)$である。半角の公式から $$\displaystyle \cos\theta-1=-2\sin^2\frac{\theta}{2},\qquad \sin\theta=2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$$ なので、 $$\displaystyle \alpha-2=4\sin\frac{\theta}{2}\left(-\sin\frac{\theta}{2}+i\cos\frac{\theta}{2}\right)=4\sin\frac{\theta}{2}\,i\left(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}\right)$$. したがって、 $$\displaystyle \alpha-2=4\sin\frac{\theta}{2}\left\{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\theta}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\theta}{2}\right)\right\}$$. また、$\alpha^{n-1}=2^{n-1}\left(\cos((n-1)\theta)+i\sin((n-1)\theta)\right)$であるから、 $$\displaystyle z_n=2^{n+1}\sin\frac{\theta}{2}\left\{\cos\left(\left(n-\frac12\right)\theta+\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\left(n-\frac12\right)\theta+\frac{\pi}{2}\right)\right\}.$$

(問1) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$を代入すると、 $$\displaystyle |z_n|=2^{n+1}\sin\frac{\pi}{6}=2^n,\qquad \left(n-\frac12\right)\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{(n+1)\pi}{3}$$. よって、 $$\displaystyle z_n=2^n\left\{\cos\frac{(n+1)\pi}{3}+i\sin\frac{(n+1)\pi}{3}\right\}.$$

(問2) このとき $|z_k|=2^k$ なので、等比数列の和より $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}|z_k|=2+2^2+\cdots+2^n=2^{n+1}-2$$. したがって $2^{n+1}-2>500$、すなわち $2^{n+1}>502$ である。$2^8=256<502<512=2^9$より、最小の n は 8 である。実際、$n=7$では和は 254、$n=8$では 510となる。

(問3) 一般の $\theta$について上の式を $n=1000$に適用すると、 $$\displaystyle z_{1000}=2^{1001}\sin\frac{\theta}{2}\left\{\cos\left(\frac{1999}{2}\theta+\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{1999}{2}\theta+\frac{\pi}{2}\right)\right\}.$$ ここで $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$より $\displaystyle 2^{1001}\sin\frac{\theta}{2}>0$ である。したがって $z_{1000}$ が実数となる条件は、 $$\displaystyle \frac{1999}{2}\theta+\frac{\pi}{2}=m\pi\quad(m\text{ は整数})$$ である。これを解くと $\displaystyle \theta=\frac{(2m-1)\pi}{1999}$ であり、 $$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}\quad\text{すなわち}\quad 0<2m-1<\frac{1999}{2}.$$ よって $m=1,2,\ldots,500$ であり、求める個数は $500\ \text{個}$である。