2熊本大学 2016年 数学 第2問解答・解説

(1) $x\ge1$ で $$\displaystyle f'(x)=\frac{1-2\log x}{x^3}.$$ 分母は正で、$1-2\log x$ は $x=\sqrt e$ で0となり、そこで正から負へ変わる。よって最大値は $$\displaystyle f(\sqrt e)=\frac{\log\sqrt e}{e}=\frac1{2e}.$$ 従って $a=\sqrt e$。 (2) $f(1)=0$ なので有界領域の$x$ の範囲は $1\le x\le\sqrt e$。部分積分から $$\displaystyle \int\frac{\log x}{x^2}dx=-\frac{\log x+1}{x}.$$ したがって面積は $$\displaystyle \int_1^{\sqrt e}\frac{\log x}{x^2}dx =\left[-\frac{\log x+1}{x}\right]_1^{\sqrt e} =1-\frac{3}{2\sqrt e}.$$ (3) (1)より$f$ は $1\le x\le a$（$a=\sqrt e$）で増加する。高さyの水平断面を考え、$x(y)$ を $f(x(y))=y$ で定めると、領域の断面は $x(y)\le x\le a$。y軸回転後は外半径a、内半径x(y)の輪になり、断面積は $\pi(a^2-x(y)^2)=\pi(e-x(y)^2)$。従って $$\displaystyle V=\pi\int_0^{f(a)}(e-x(y)^2)dy =\pi\int_1^a(e-x^2)f'(x)dx.$$ 最後は $y=f(x)$ と置換した。部分積分すると、両端で $(e-x^2)f(x)=0$（$x=a$ では $e-a^2=0$、$x=1$ では $f(1)=0$）だから $$\displaystyle V=2\pi\int_1^a x f(x)dx =2\pi\int_1^{\sqrt e}\frac{\log x}{x}dx =\pi[(\log x)^2]_1^{\sqrt e}=\frac\pi4.$$