3山形大学 2014年 数学 第3問解答・解説

(1) 部分積分および半角の公式より $$\displaystyle \int t\sin(at)\,dt=-\frac{t}{a}\cos(at)+\frac{1}{a^2}\sin(at)+C, \qquad \int\sin^2\frac t2\,dt=\frac t2-\frac12\sin t+C.$$

(2) $0\le x\le\pi$ では $|x-2t|$ の符号は $t=x/2$ で変わるので、そこで積分を分ける。 $$\displaystyle f(x)=\int_0^{x/2}(x-2t)\sin t\,dt+\int_{x/2}^{\pi/2}(2t-x)\sin t\,dt.$$ (1)の公式で各積分を計算すると $$\displaystyle \int_0^{x/2}(x-2t)\sin t\,dt=x-2\sin\frac x2, \qquad \int_{x/2}^{\pi/2}(2t-x)\sin t\,dt=2-2\sin\frac x2,$$ したがって $$\displaystyle f(x)=2+x-4\sin\frac x2.$$ よって $f'(x)=1-2\cos(x/2)$ であり、$0\le x\le\pi$ では $x=2\pi/3$ を境に減少から増加へ変わる。ゆえに $$\displaystyle \min\limits _{0\le x\le\pi}f(x)=f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=2+\frac{2\pi}{3}-2\sqrt3.$$

(3) 回転させるグラフは $y=f(x)-f(0)=x-4\sin(x/2)$ である。この関数は $0\le x\le2\pi/3$ で減少し、その後 $2\pi/3\le x\le\pi$ で増加する。また $y(0)=0$、$y(\pi)=\pi-4<0$ だから $y<0$（$0<x\le\pi$）。従って回転体の体積は $$\displaystyle V=\pi\int_0^\pi\left(x-4\sin\frac x2\right)^2\,dx.$$ ここで $$\displaystyle \int_0^\pi x^2\,dx=\frac{\pi^3}{3},\qquad \int_0^\pi x\sin\frac x2\,dx=4,\qquad \int_0^\pi\sin^2\frac x2\,dx=\frac\pi2.$$ ゆえに $$\displaystyle V=\pi\left(\frac{\pi^3}{3}-8\cdot4+16\cdot\frac\pi2\right) =\boxed{\frac{\pi^4}{3}+8\pi^2-32\pi}.$$