神戸大学 2003年数学第3問解答・解説

数と式指数関数・対数関数微分法

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1問題

神戸大学2003年度第3問

関数 $\displaystyle f(x)=\frac{e^{\frac{1}{4}|x|}}{x^{2}-3x+18}$ とする。次の問に答えよ。（配点30点）

(1) $f(x)$ の極小値をすべて求めよ。

(2) $f(x)$ の最小値を求めよ。ただし，必要ならば $e>2.7$ を用いてよい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) 極小値 $\displaystyle \frac{e^{3/4}}{36},\quad\frac1{18},\quad\frac{e^{3/2}}{36}$ （それぞれ $x=-3,0,6$ ）。(2) 最小値1/18（ $x=0$ ）。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$D=x^2-3x+18>0$ 。 $x<0$ では $\displaystyle f^{\prime}=-\frac{e^{-x/4}(x+2)(x+3)}{4D^2}$ 、 $x>0$ では $\displaystyle f^{\prime}=\frac{e^{x/4}(x-5)(x-6)}{4D^2}$ 。極小値は $f(-3)=e^{3/4}/36, f(0)=1/18, f(6)=e^{3/2}/36$ 。全域最小値は $1/18$ 。

原文p.3の第3問を視認。分母 $\displaystyle D=x^2-3x+18=\left(x-\frac32\right)^2+\frac{63}{4}>0$ 。 $\displaystyle x<0\text{ では }f^\prime=-\frac{e^{-x/4}(x+2)(x+3)}{4D^2}$ 、 $\displaystyle x>0\text{ では }f^\prime=\frac{e^{x/4}(x-5)(x-6)}{4D^2}$ 。符号表より極小点は−3,0,6（0は左で減少・右で増加する尖点）で、値はe^(3/4)/36,1/18,e^(3/2)/36。(2) e>2.7から $e^3>16$ 、よって $e^{3/4}>2$ 、また $e^{3/2}>2$ 。両側の他の極小値はいずれも1/18より大きいため全域最小値は1/18。原文が許すe>2.7を使用。A067/C067の全2小問の判定と一致。

この問題で使う考え方

場合分け微分
導関数の符号
不等式比較

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