5神戸大学 2003年 数学 第5問解答・解説

(1) $p=n-2q>0$ より、$q$ は $\displaystyle 1\le q\le\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor$ を満たす。この範囲の各 $q$ に対して $p$ は一意に定まるから、$$\displaystyle a_n=\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor.$$

(2) $q$ を固定すると $1\le p\le n-2q-1$ である。したがって、可能な $q$ は $\displaystyle 1\le q\le\left\lfloor\frac{n-2}{2}\right\rfloor$ であり、$$\displaystyle b_n=\sum\limits _{q=1}^{\lfloor(n-2)/2\rfloor}(n-2q-1).$$

$n=2k\ (k\ge1)$ ならば、$\displaystyle b_n=\sum\limits _{j=1}^{k-1}(2j-1)=(k-1)^2$。$n=2k+1\ (k\ge1)$ ならば、$\displaystyle b_n=\sum\limits _{j=1}^{k-1}2j=k(k-1)$。また $n=1$ では $b_1=0$。以上より、$$\displaystyle b_n=\left\lfloor\frac{(n-2)^2}{4}\right\rfloor.$$

(3) $0\le a_n\le n/2$ より $a_n/n^2\to0$。また、$0\le (n-2)^2/4-b_n<1$ だから、$$\displaystyle \frac{b_n}{n^2}=\frac{(n-2)^2}{4n^2}-\frac{\varepsilon_n}{n^2}\quad(0\le\varepsilon_n<1).$$ よって $b_n/n^2\to1/4$。

$p+2q=n$ では、正整数$q$は$\displaystyle 1\le q\le\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor$で各$q$に対して$p$が一意に決まる。(2)では$q$ごとに $p=1,\ldots,n-2q-1$ を数える。偶奇で和を計算すると $n=2k$ で $(k-1)^2$、$n=2k+1$ で $k(k-1)$、いずれも $\displaystyle \left\lfloor\frac{(n-2)^2}{4}\right\rfloor$。$a_n=O(n)$なので1つ目の極限は$0$、$b_n/n^2$の主項は$\displaystyle \frac14$。