4神戸大学 2003年 数学 第4問解答・解説

(1) 部分積分を2回行う。$f(0)=f(\pi)=0$ と $\sin0=\sin\pi=0$ より $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^\pi f''(x)\sin x\,dx &=[f'(x)\sin x]_0^\pi-\int_0^\pi f'(x)\cos x\,dx\\ &=-[f(x)\cos x]_0^\pi-\int_0^\pi f(x)\sin x\,dx\\ &=-\int_0^\pi f(x)\sin x\,dx. \end{aligned}$$

(2) $f(x)=x(x-\pi)$ では $f''(x)=2$ だから、(1)より $$\displaystyle \int_0^\pi f(x)\sin x\,dx=-4.$$ また多項式の積分と半角公式により $$\displaystyle \int_0^\pi f(x)^2\,dx=\frac{\pi^5}{30},\qquad \int_0^\pi\sin^2x\,dx=\frac\pi2.$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} F(a)&=\frac{\pi^5}{30}a^2+8a+\frac\pi2\\ &=\frac{\pi^5}{30}\left(a+\frac{120}{\pi^5}\right)^2 +\frac\pi2-\frac{480}{\pi^5}. \end{aligned}$$ 二次の係数は正なので、$a=-120/\pi^5$ のとき最小となる。