1神戸大学 2003年 数学 第1問解答・解説

(1) $z=x\;(x\text{ は実数})$ とおくと、$$\displaystyle w=\frac{x-i}{x+i}=\frac{(x-i)^2}{x^2+1}=\frac{x^2-1}{x^2+1}-\frac{2x}{x^2+1}i.$$ したがって、$$\displaystyle \lvert w\rvert^2=\frac{(x^2-1)^2+4x^2}{(x^2+1)^2}=1$$ である。また、$w=1$ とすると $x-i=x+i$ となり矛盾するから、$w\ne1$ である。 逆に、$\lvert w\rvert=1$、$w\ne1$ を満たす複素数 $w$ に対し、$$\displaystyle x=\frac{i(1+w)}{1-w}$$ とおく。$\overline{w}=1/w$ より、$$\displaystyle \overline{x}=-\frac{i(1+\overline{w})}{1-\overline{w}}=-\frac{i(w+1)}{w-1}=\frac{i(1+w)}{1-w}=x$$ となるので $x$ は実数である。この式を変形すると $w=(x-i)/(x+i)$ を得る。よって、軌跡は $\lvert w\rvert=1$ から $w=1$ を除いた図形である。

(2) $z\ne\pm i$ なので、$w_1\ne0$ であり、各分母も0ではない。$$\displaystyle \overline{w_1}=\frac{\overline{z}+i}{\overline{z}-i}=\frac{1}{w_2}$$ だから、$$\displaystyle w_2=\frac{1}{\overline{w_1}}=\frac{w_1}{w_1\overline{w_1}}=\frac{1}{\lvert w_1\rvert^2}w_1.$$ ここで $1/\lvert w_1\rvert^2$ は正の実数である。したがって、点Qの位置ベクトルは点Pの位置ベクトルの実数倍であり、O、P、Qは同一直線上にある。