2東京大学 2003年 数学 第2問解答・解説

点 $P$ を表す複素数を $z$、$q=(1-i)t-7$ とおく。$t>0$ なので $q=(t-7)-it\ne0$ である。 $$\displaystyle \begin{aligned} z-6 &=\frac{14(t-3)-6\{(1-i)t-7\}}{(1-i)t-7} =\frac{2t(4+3i)}{(1-i)t-7},\\ z-(7+7i) &=\frac{14(t-3)-(7+7i)\{(1-i)t-7\}}{(1-i)t-7} =\frac{7(1+7i)}{(1-i)t-7}. \end{aligned}$$

(1) $t>0$ より、 $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{6-z}{(7+7i)-z} &=\frac{z-6}{z-(7+7i)} =\frac{2t}{7}\frac{4+3i}{1+7i}\\ &=\frac{2t}{7}\frac{(4+3i)(1-7i)}{(1+7i)(1-7i)} =\frac{t}{7}(1-i). \end{aligned}$$ したがってこの商の偏角は $\displaystyle -\frac{\pi}{4}$ であり、 $$\displaystyle \angle APB=\frac{\pi}{4}=45^\circ.$$ （2） $$\displaystyle \begin{aligned} |OP|^2 &=|z|^2 =\frac{196(t-3)^2}{|(1-i)t-7|^2}\\ &=\frac{196(t-3)^2}{(t-7)^2+t^2} =\frac{196(t-3)^2}{2t^2-14t+49}. \end{aligned}$$ ここで $D=2t^2-14t+49=(t-7)^2+t^2>0$ だから、 $$\displaystyle \begin{aligned} 100-|OP|^2 &=\frac{100D-196(t-3)^2}{D}\\ &=\frac{4(t-28)^2}{D}\ge0. \end{aligned}$$ 等号は $t=28$ のときに成立し、この $t$ は正である。よって線分 $OP$ の長さは $t=28$ のとき最大で、その最大値は $10$ である。