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東京大学／2003年度

東京大学 2003年 数学 第5問解答・解説

場合の数と確率極限

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1問題

東京大学2003年度第5問

さいころをn回振り、第1回目から第n回目までに出たさいころの目の数n個の積をX_nとする。

(1) X_nが5で割り切れる確率を求めよ。

(2) X_nが4で割り切れる確率を求めよ。

(3) X_nが20で割り切れる確率をp_nとおく。極限 lim_{n→∞}(1/n)log(1−p_n) を求めよ。

注意：さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    1−(5/6)n1−(5/6)^n
  • (2)
    1−(3n+2n⋅3n−1)/6n1−(3^n+2n·3^{n−1})/6^n
  • (3)
    lim⁡n→∞1nlog⁡(1−pn)=log⁡56\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}\frac1n\log(1-p_n)=\log\frac56

3解答

解答を見る途中式つきの解答

サイコロを nn 回投げた目の積を XnX_n とする。 P(5∣Xn)=1−(56)n,\displaystyle P(5\mid X_n)=1-\left(\frac56\right)^n, なぜなら5の因数を得るには少なくとも一度5が出ればよい。 4で割り切れないのは、全て奇数が出る場合、または一度だけ2か6が出て残りが奇数の場合である。したがって P(4∣Xn)=1−3n+2n 3n−16n.\displaystyle P(4\mid X_n)=1-\frac{3^n+2n\,3^{n-1}}{6^n}. ここで pn=P(20∣Xn)p_n=P(20\mid X_n) とし、A={5∤Xn}A=\{5\nmid X_n\}、B={4∤Xn}B=\{4\nmid X_n\} とおく。XnX_nが20で割り切れないのは事象Aまたは事象Bが起こるときだから (56)n≦1−pn≦(56)n+3n+2n 3n−16n.\displaystyle \left(\frac56\right)^n\le 1-p_n\le \left(\frac56\right)^n+\frac{3^n+2n\,3^{n-1}}{6^n}. 右辺の第2項を (5/6)n(5/6)^n で割った値は (1+2n3)(35)n⟶0.\displaystyle \left(1+\frac{2n}{3}\right)\left(\frac35\right)^n\longrightarrow0. よって 1−pn=(5/6)n(1+εn)1-p_n=(5/6)^n(1+\varepsilon_n)（εn→0\varepsilon_n\to0）と書ける。従って 1nlog⁡(1−pn)=log⁡56+1nlog⁡(1+εn)⟶log⁡56.\displaystyle \frac1n\log(1-p_n)=\log\frac56+\frac1n\log(1+\varepsilon_n) \longrightarrow\log\frac56.

この問題で使う考え方

  • 余事象
  • 因数の個数の分類
  • はさみうち

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