6東京大学 2003年 数学 第6問解答・解説

半径1の円に内接する正十二角形を考える。隣り合う頂点を結ぶ弦を $s$ とすると、中心角は $30^\circ$ である。余弦定理より $$s^2=1^2+1^2-2\cos30^\circ=2-\sqrt3,\qquad s=\sqrt{2-\sqrt3}.$$ 円周上の各弧の長さは対応する弦より長いので、円周 $2\pi$ は正十二角形の周長 $12s$ より大きい。したがって $$\pi>6\sqrt{2-\sqrt3}.$$ 次に、両辺は正であり $$\displaystyle 3<\frac{676}{225}=\left(\frac{26}{15}\right)^2$$ より $\displaystyle \sqrt3<\frac{26}{15}$ である。よって $$\displaystyle 2-\sqrt3>\frac{4}{15},\qquad 6\sqrt{2-\sqrt3}>6\sqrt{\frac{4}{15}}=\frac{12}{\sqrt{15}}.$$ さらに、両辺は正であり $$\displaystyle \left(\frac{12}{\sqrt{15}}\right)^2=\frac{48}{5}=\frac{3840}{400}>\frac{3721}{400}=\left(\frac{61}{20}\right)^2$$ だから $\displaystyle \frac{12}{\sqrt{15}}>\frac{61}{20}$ である。以上より $$\displaystyle \pi>6\sqrt{2-\sqrt3}>\frac{12}{\sqrt{15}}>\frac{61}{20}=3.05.$$