1東京大学 2003年 数学 第1問解答・解説

条件 (A) より $$a-b+c=-1,\qquad a+b+c=1$$ なので、$b=1,\ c=-a$ であり、$f(x)=a(x^2-1)+x$ である。条件 (B) は $$g(x):=3x^2-1-f(x)=(3-a)x^2-x+a-1\ge0\qquad(-1\le x\le1)$$ と同値である。

$a\ge3$ のとき、$g$ は下に凸または一次関数であり、最小値は端点でとる。$g(-1)=3,\ g(1)=1$ だから条件を満たす。$\displaystyle \frac52\le a<3$ のときは $$g'(x)=2(3-a)x-1\le 2(3-a)-1\le0\qquad(-1\le x\le1),$$ ゆえに最小値は $g(1)=1$ で、やはり条件を満たす。

$\displaystyle a<\frac52$ のとき、$\displaystyle 3-a>\frac12$ なので、上に凸の二次関数 $g$ の頂点 $$\displaystyle x_0=\frac{1}{2(3-a)}$$ は $0<x_0<1$ にある。したがって条件 (B) は $$\displaystyle g(x_0)=a-1-\frac{1}{4(3-a)}\ge0 \quad\text{すなわち}\quad 4a^2-16a+13\le0 \quad\text{すなわち}\quad 2-\frac{\sqrt3}{2}\le a\le2+\frac{\sqrt3}{2}$$ となる。これを $\displaystyle a<\frac52$ と合わせ、先の範囲も含めると、条件 (B) を満たすのは $$\displaystyle a\ge a_0:=2-\frac{\sqrt3}{2}$$ である。特に $a_0>0$ なので条件 $a\ne0$ も満たす。$a=a_0$ では $g$ の最小値が 0 となり、下端は実際にとれる。

最後に $$\displaystyle f'(x)=2ax+1, \qquad I=\int_{-1}^{1}(2ax+1)^2\,dx=\frac83a^2+2.$$ 許される $a$ は $a\ge a_0>0$ だから、この値は $a$ とともに増加する。よって $$\displaystyle I\ge \frac83\left(2-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+2 =\frac{44-16\sqrt3}{3},$$ かつ上には限りがない。したがって求める範囲は $$\displaystyle \boxed{\displaystyle I\ge\frac{44-16\sqrt3}{3}}.$$