III鳥取大学 2003年 数学 第III問解答・解説

(1) $x=0$ を代入すると $\boxed{y=4}$。 (2) $y=-(x-1)^2+5$ より頂点は $\boxed{(1,5)}$。 (3) $x^2=-x^2+2x+4$ より $(x-2)(x+1)=0$。交点は $\boxed{(-1,1),(2,4)}$。 (4) 上側の放物線が下側以上になるのは $-1\le x\le2$。したがって $$D=\{(x,y):-1\le x\le2,\ x^2\le y\le-x^2+2x+4\}.$$ 図では、2交点を結ぶ両放物線の間を境界も含めて塗る。 (5) 面積は $$\displaystyle \int_{-1}^2(-2x^2+2x+4)\,dx=\left[-\frac23x^3+x^2+4x\right]_{-1}^2=\boxed9.$$ (6) 固定した $x$ について $x+y$ は $y$ とともに増える。上側では $$x+y=-x^2+3x+4=-(x-3/2)^2+25/4$$ なので最大値は $\boxed{25/4}$、達成点は $(3/2,19/4)$。下側では $x+y=x^2+x=(x+1/2)^2-1/4$ なので最小値は $\boxed{-1/4}$、達成点は $(-1/2,1/4)$。どちらの点も $D$ に属する。