II鳥取大学 2003年 数学 第II問解答・解説

(1) 図より中心は原点、x軸方向の半径はa、y軸方向の半径はbであるから、$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

(2) 整理すると $\displaystyle y^2=\frac{b^2}{a^2}(a^2-x^2)$ であり、$-a\le x\le a$ に対して $\displaystyle y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$。図の上側では正号をとり、$\displaystyle y_+(x)=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$ とする。

(3) 上下・左右の対称性から、$\displaystyle S=2\int_{-a}^{a}y_+(x)\,dx=4\int_0^a\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx$。

(4) $x=a\sin\theta$ とおくと、$0\le x\le a$ では $\displaystyle 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$、$dx=a\cos\theta\,d\theta$、$\sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta$ である。よって $$\displaystyle S=4ab\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta=4ab\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\pi ab.$$

(5) 上半分をx軸のまわりに回転させると、位置xで半径$y_+(x)$の円盤ができる。したがって $$\displaystyle V=\pi\int_{-a}^{a}\{y_+(x)\}^2\,dx=\pi\int_{-a}^{a}b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)dx.$$

(6) 積分を計算して $$\displaystyle V=\pi b^2\left[x-\frac{x^3}{3a^2}\right]_{-a}^{a}=\pi b^2\left(\frac{2a}{3}+\frac{2a}{3}\right)=\frac{4}{3}\pi ab^2.$$