4琉球大学 2007年 数学 第4問解答・解説

(1) $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ より $r^2=x^2+y^2$, $r\cos\theta=x$, $r\sin\theta=y$ である。したがって $$x^2+y^2=2x+2y,\qquad (x-1)^2+(y-1)^2=2.$$ ただし、これは円全体ではなく、$\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac{3\pi}{4}$ に対応する弧である。$\displaystyle \theta=0,\frac\pi4,\frac{3\pi}{4}$ の点はそれぞれ $(2,0),(2,2),(0,0)$ であるから、求める曲線は中心 $(1,1)$、半径 $\sqrt2$ の円のうち、$(2,0)$ から $(0,0)$ まで $(2,2)$ を通る大弧（中心角 $270^\circ$）である。

(2) $x$ 軸方向に $-1$ 平行移動すると、円の方程式は $$x^2+(y-1)^2=2$$ となる。弧の両端は $(1,0),(-1,0)$ であり、$D$ はこの弦と大弧で囲まれる大きい円弧部分である。円全体の面積は $2\pi$ である。弦の下側の小さい円弧部分は、中心角 $90^\circ$ の扇形から、底辺 $2$、高さ $1$ の三角形を除いた部分なので、その面積は $$\displaystyle \frac{90}{360}\cdot2\pi-\frac12\cdot2\cdot1=\frac\pi2-1.$$ よって $$\displaystyle S_D=2\pi-\left(\frac\pi2-1\right)=1+\frac{3\pi}{2}.$$

(3) $x^2+(y-1)^2=2$ より、円の上下の枝は $y=1\pm\sqrt{2-x^2}$ である。 $|x|\leq1$ では $D$ の縦断面は $0\leq y\leq1+\sqrt{2-x^2}$、$1\leq|x|\leq\sqrt2$ では $1-\sqrt{2-x^2}\leq y\leq1+\sqrt{2-x^2}$ である。したがって円板断面と環状断面に分けると $$\displaystyle V=\pi\int_{-1}^{1}\left(1+\sqrt{2-x^2}\right)^2dx+2\pi\int_1^{\sqrt2}\left[\left(1+\sqrt{2-x^2}\right)^2-\left(1-\sqrt{2-x^2}\right)^2\right]dx.$$ ここで $$\displaystyle \int\sqrt{2-x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{2-x^2}+\arcsin\frac{x}{\sqrt2}$$ である。これは $\displaystyle x=\sqrt2\sin u\ (0\leq u\leq\frac\pi2)$ と置けば、$\displaystyle \int2\cos^2u\,du=\int(1+\cos2u)\,du$ として得られる。よって $$\displaystyle \int_0^1\sqrt{2-x^2}\,dx=\frac12+\frac\pi4,\qquad \int_1^{\sqrt2}\sqrt{2-x^2}\,dx=\frac\pi4-\frac12.$$ また、$\left(1+\sqrt{2-x^2}\right)^2=3-x^2+2\sqrt{2-x^2}$ であり、$\left(1+\sqrt{2-x^2}\right)^2-\left(1-\sqrt{2-x^2}\right)^2=4\sqrt{2-x^2}$ だから、 $$\displaystyle \begin{aligned}V&=\pi\left[\frac{16}{3}+4\left(\frac12+\frac\pi4\right)+8\left(\frac\pi4-\frac12\right)\right]\\&=\pi\left(\frac{10}{3}+3\pi\right)=\frac{10\pi}{3}+3\pi^2.\end{aligned}$$ 以上より求める体積は $\displaystyle \frac{10\pi}{3}+3\pi^2$ である。