3琉球大学 2007年 数学 第3問解答・解説

問1　 直線 $2x+y=0$ の傾きは $-2$ なので、これに垂直な方向ベクトルは $(2,1)$ である。点 $P=(x,y)$ からこの方向に $t$ だけ進んだ点を垂線の足 $H=(x-2t,y-t)$ とすると、$H$ は直線上にあるから $2(x-2t)+(y-t)=0$、したがって $\displaystyle t=\dfrac{2x+y}{5}$ である。対称移動後の点は $P'=2H-P$ なので、$\displaystyle P'=\left(x-4t,y-2t\right)=\left(\dfrac{-3x-4y}{5},\dfrac{-4x+3y}{5}\right)$ となる。よって $$\displaystyle S=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}-3&-4\\-4&3\end{pmatrix}.$$ また、 $$\displaystyle S^2=\frac{1}{25}\begin{pmatrix}-3&-4\\-4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3&-4\\-4&3\end{pmatrix}=\frac{1}{25}\begin{pmatrix}25&0\\0&25\end{pmatrix}=I_2.$$ 問2　 $g$ が点 $(1,-2)$ を固定する条件から $$a-2b=1,\qquad c-2d=-2,$$ ゆえに $\displaystyle b=\dfrac{a-1}{2}$, $c=2d-2$ である。さらに $g\circ g$ が恒等変換であるから $A^2=I_2$ であり、成分を比較すると $$a^2+bc=1,\quad b(a+d)=0,\quad c(a+d)=0,\quad bc+d^2=1$$ を得る。もし $a+d\ne0$ ならば $b=c=0$ となり、固定点条件から $a=d=1$、すなわち $A=I_2$ となるが、これは条件に反する。したがって $a+d=0$、つまり $d=-a$ である。このとき $$\displaystyle b=\frac{a-1}{2},\qquad c=2(-a)-2=-2a-2.$$ 実際、この値では $\displaystyle bc=\dfrac{a-1}{2}(-2a-2)=1-a^2$ となるため対角成分はともに $1$、また $a+d=0$ より非対角成分はともに $0$ となり、$A^2=I_2$ を満たす。さらに固定点条件も満たし、$A$ は単位行列ではない。したがって求める値は上記のとおりである。