名古屋大学 2006年数学第2問解答・解説

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1問題

名古屋大学2006年度第2問

s を実数とする。(u_1, v_1) = (s, 1) とし，(u_n, v_n) (n ≧ 2) を次の漸化式で定める。 (u_n, v_n)^T = [[1, -2], [2, -1]] (u_{n-1}, v_{n-1})^T s が実数全体を動くとき，(u_n, v_n) が描く xy 平面上の図形を ℓ_n とする。

(1) 図形 ℓ_n (n ≧ 1) の方程式を求めよ。

(2) ℓ_{2k-1} (k は正の整数) と y 軸との交点を中心とし，ℓ_{2k} に接する円の方程式を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\ell_{2k-1}:y=(-3)^{k-1},\quad \ell_{2k}:y=2x+3(-3)^{k-1}\quad(k\ge1)$
(2)
$\displaystyle x^2+(y-(-3)^{k-1})^2=\frac45\,9^{k-1}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

遷移行列 $M=\begin{pmatrix}1&-2\\2&-1\end{pmatrix}$ を計算すると $M^2=\begin{pmatrix}-3&0\\0&-3\end{pmatrix}=-3I.$ 従って $(u_{2k-1},v_{2k-1})=(-3)^{k-1}(s,1),\qquad (u_{2k},v_{2k})=(-3)^{k-1}(s-2,\,2s-1).$ $s$ は任意の実数である。奇数番目ではx座標が動きyは一定なので $\ell_{2k-1}:y=c$ 、偶数番目では $y=2x+3c$ 、ただし $c=(-3)^{k-1}$ 。

奇数直線とy軸の交点は中心 $C=(0,c)$ 。偶数直線を $2x-y+3c=0$ と書くと、Cから直線までの距離は $\displaystyle r=\frac{|2(0)-c+3c|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} =\frac{2|c|}{\sqrt5}.$ 従って求める円は $\displaystyle x^2+(y-c)^2=r^2=\frac{4c^2}{5} =\frac45\,9^{k-1}.$

この問題で使う考え方

行列の累乗
偶奇による一般項
媒介変数消去
点と直線の距離

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