1名古屋大学 2006年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) } f(x)=\log x\ (x>0)\text{ とし、接点の }x\text{ 座標を }t>0\text{ とする。高校数学IIIの標準記法に従い }\log x=\ln x\text{ とする。}\\ f'(t)=\frac1t\text{ より接線は }y=\frac{x}{t}+\log t-1.\text{ これが }(0,b)\text{ を通る条件は }b=\log t-1\text{ だから }t=e^{b+1}.\\ \therefore\quad y=e^{-(b+1)}x+b.\\[3pt] \text{(2) } A_1=(1,0)=(e^0,0).\text{ }A_n=(e^{n-1},n-1)\text{ とすると }B_n=(0,n-1).\text{ }B_n\text{ を通る接点の座標を }t\text{ とすれば、(1)より }\\ n-1=\log t-1,\qquad t=e^n,\qquad A_{n+1}=(e^n,n).\\ \text{よって帰納的に }A_n=(e^{n-1},n-1),\ B_n=(0,n-1).\text{ }B_nA_{n+1}\text{ を含む接線は }L_n(x)=n-1+\frac{x}{e^n}.\\ S_n=\int_0^{e^{n-1}}\!\left(L_n(x)-(n-1)\right)\,dx+\int_{e^{n-1}}^{e^n}\!\left(L_n(x)-\log x\right)\,dx.\\ \text{第2積分で }u=x/e^{n-1}\text{ と置くと、}\\ S_n=e^{n-1}\left[\frac{1}{2e}+\int_1^e\left(\frac{u}{e}-\log u\right)du\right] =e^{n-1}\left[\frac{1}{2e}+\left(\frac e2-\frac{1}{2e}-1\right)\right] =\frac{e^{n-1}(e-2)}2.\\[3pt] \text{(3) }r=1/e\ (0<r<1)\text{ とおくと、}\\ \sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{n}{S_n}=\frac{2}{e-2}\sum\limits _{n=1}^{\infty}nr^{n-1}.\\ \sum\limits _{n=1}^{N}nr^{n-1}=\frac{1-(N+1)r^N+Nr^{N+1}}{(1-r)^2}.\text{ 問題文の }Nr^N\to0\text{ と }r^N\to0\text{ から }N\to\infty\text{ で }\\ \sum\limits _{n=1}^{\infty}nr^{n-1}=\frac1{(1-r)^2}=\frac{e^2}{(e-1)^2}.\\ \therefore\quad \sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{n}{S_n}=\frac{2e^2}{(e-2)(e-1)^2}.$$